Encontre o domínio das funções t(x) = log(3x - 9, x^2 + 8x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função . Isso envolve conhecimentos de funções logarítmicas e inequações. Para achar o domínio, precisamos garantir que:
  1. O argumento do logaritmo ( ) seja positivo.
  2. A base do logaritmo ( ) seja positiva e diferente de 1.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo. Ou seja:
Essa é uma inequação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos encontrar os zeros da função quadrática:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses zeros:
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
Testando um valor em cada intervalo:
  • Para (Intervalo 1):
  • Para (Intervalo 2):
  • Para (Intervalo 3):
Portanto, a solução para é:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a base do logaritmo seja positiva e diferente de 1:
Primeiro, resolvendo :
Agora, resolvendo :
Então, a base deve ser maior que 0 e diferente de 1, o que nos dá:

Passo 4

Agora, precisamos juntar as condições que encontramos para o domínio da função:
  1. ou (do argumento do logaritmo).
  2. e (da base do logaritmo).
Vamos analisar onde essas condições se sobrepõem:
  • Para : Aqui não é possível, então essa parte não contribui para o domínio final.
  • Para : Precisamos também que , o que já é satisfeito, e .
Observação: é aproximadamente 3,333, que está entre 3 e , então precisamos excluí-lo.

Resposta

O domínio da função é:
Ou seja, todos os números maiores que 3, exceto .

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