Encontre o domínio das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função
. Isso envolve conhecimentos de funções logarítmicas e inequações. Para achar o domínio, precisamos garantir que:
- O argumento do logaritmo (
) seja positivo. - A base do logaritmo (
) seja positiva e diferente de 1.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo. Ou seja:
Essa é uma inequação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos encontrar os zeros da função quadrática:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses zeros:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Testando um valor em cada intervalo:
- Para
(Intervalo 1): - Para
(Intervalo 2): - Para
(Intervalo 3):
Portanto, a solução para
é:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a base do logaritmo seja positiva e diferente de 1:
Primeiro, resolvendo
:
Agora, resolvendo
:
Então, a base deve ser maior que 0 e diferente de 1, o que nos dá:
Passo 4
Agora, precisamos juntar as condições que encontramos para o domínio da função:
-
ou (do argumento do logaritmo). -
e (da base do logaritmo).
Vamos analisar onde essas condições se sobrepõem:
- Para
: Aqui não é possível, então essa parte não contribui para o domínio final. - Para
: Precisamos também que , o que já é satisfeito, e .
Observação:
é aproximadamente 3,333, que está entre 3 e
, então precisamos excluí-lo.
Resposta
O domínio da função
é:
Ou seja, todos os números maiores que 3, exceto
.