Construa num mesmo plano cartesiano as áreas que podem ser interpretadas a partir dos módulos das integrais a seguir:
A=integral-4^0(-x-4) d x, B=integral-4^0 raiz4-(x+2)^2 d x, C=integral0^4(x-4) d x e D=integral0^4 raiz4-(x-2)^2 d x
Em seguida, calcule a área delimitada nas quatro áreas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos quatro integrais definidas que representam áreas em um plano cartesiano. Nosso objetivo é desenhar essas áreas no mesmo gráfico e, em seguida, calcular a área total delimitada por elas.
As integrais são:
A=integral-4^0(-x-4) , dx, B=integral-4^0 raiz4-(x+2)^2 , dx, C=integral0^4(x-4) , dx e D=integral0^4 raiz4-(x-2)^2 , dx
Vamos resolver cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Integral A:
A = integral-4^0 (-x - 4) , dx
Aqui, a função A = [ -12x^2 - 4x ]-4^0 é uma reta. Para encontrar a área, calculamos a integral:
A = (0 - 0) - ( -12(-4)^2 - 4(-4) ) = 0 - (-8 + 16) = -8
Substituindo os limites:
A = 8 unidades de área
Como área não pode ser negativa, consideramos o módulo:
á

Passo 3

Integral B:
B = integral-4^0 raiz4 - (x + 2)^2 , dx
Essa função representa a metade superior de um círculo com raio 2 e centrado em (x + 2)^2 + y^2 = 4 . A equação do círculo é:
B = 12 times pi r^2 = 12 times pi (2)^2 = 2pi
A integral calcula a área da semicircunferência:

Passo 4

Integral C:
C = integral0^4 (x - 4) , dx
A função C = [ 12x^2 - 4x ]0^4 é uma reta. Calculando a integral:
C = ( 12(16) - 16 ) - (0 - 0) = (8 - 16) = -8
Substituindo os limites:
C = 8 unidades de área
Considerando o módulo:
á

Passo 5

Integral D:
D = integral0^4 raiz4 - (x - 2)^2 , dx
Esta função representa a metade superior de um círculo com raio 2 e centrado em (x - 2)^2 + y^2 = 4 . A equação do círculo é:
D = 12 times pi r^2 = 12 times pi (2)^2 = 2pi
A integral calcula a área da semicircunferência:

Resposta

Somando todas as áreas calculadas:
A + B + C + D = 8 + 2pi + 8 + 2pi = 16 + 4pi unidades de área á

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