(k) lim x +infty x^2ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo de limites, uma área da matemática que estuda o comportamento das funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como funções do tipo polinomial (como ) e funções logarítmicas (como ) se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando vai para mais infinito. Tanto quanto crescem à medida que aumenta, mas o quão rápido cada uma cresce?

Passo 3

Sabemos que funções polinomiais, como , crescem muito mais rapidamente do que funções logarítmicas, como , quando tende para o infinito. Isso significa que o numerador está crescendo muito mais rápido que o denominador.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos um limite do tipo limx +infty 2x1x = limx +infty 2x^2 . Segundo a regra, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, avaliando , vemos que à medida que cresce sem limite, também cresce sem limite. Portanto, o limite é infinito.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados