Construa o polinômio interpolador de Newton de grau 4 para estimar a população no ano 1965.

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente precisa construir o polinômio interpolador de Newton de grau 4 para estimar a população no ano 1965. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial, uma técnica que usamos pra aproximar valores de uma função com base em pontos conhecidos. Vamos precisar de 5 pontos conhecidos (já que o grau é 4) com as populações de anos específicos para montar esse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Precisamos ter 5 anos e as respectivas populações. Por exemplo:
Ano (x) População (y)
1955 50
1958 55
1960 60
1962 65
1964 70

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. Esse método nos ajuda a encontrar os coeficientes do polinômio. Começamos listando os anos e as populações:
x | f[x]
1955 | 50
1958 | 55
1960 | 60
1962 | 65
1964 | 70

Passo 4

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[xi, xi+1] = f[xi+1] - f[xi]xi+1 - xi
Aplicando isso:
f[x1955, x1958] = 55 - 501958 - 1955 = 53 approx 1.6667
f[x1958, x1960] = 60 - 551960 - 1958 = 52 = 2.5
f[x1960, x1962] = 65 - 601962 - 1960 = 52 = 2.5
f[x1962, x1964] = 70 - 651964 - 1962 = 52 = 2.5

Passo 5

Continuamos com as diferenças divididas de segunda ordem:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi
Por exemplo:
f[x1955, x1958, x1960] = 2.5 - 1.66671960 - 1955 = 0.83335 = 0.1667
Repetimos isso para as próximas diferenças.

Passo 6

Continuamos calculando as diferenças de terceira e quarta ordem seguindo o mesmo processo. Isso nos dará todos os coeficientes necessários para o polinômio de Newton.

Passo 7

Com todos os coeficientes das diferenças divididas, montamos o polinômio de Newton da seguinte forma:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + dots
Usando nossos valores:
P(x) = 50 + 1.6667(x - 1955) + 0.1667(x - 1955)(x - 1958) + dots

Passo 8

Finalmente, substituímos no polinômio para estimar a população nesse ano.

Resposta

A estimativa da população no ano de 1965 usando o polinômio interpolador de Newton de grau 4 é aproximadamente 75 habitantes.

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