Construa o polinômio interpolador de Newton de grau 4 para estimar a população no ano 1965.
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente precisa construir o polinômio interpolador de Newton de grau 4 para estimar a população no ano 1965. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial, uma técnica que usamos pra aproximar valores de uma função com base em pontos conhecidos. Vamos precisar de 5 pontos conhecidos (já que o grau é 4) com as populações de anos específicos para montar esse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados. Precisamos ter 5 anos e as respectivas populações. Por exemplo:
Ano (x) | População (y) |
---|---|
1955 | 50 |
1958 | 55 |
1960 | 60 |
1962 | 65 |
1964 | 70 |
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. Esse método nos ajuda a encontrar os coeficientes do polinômio. Começamos listando os anos e as populações:
x | f[x]
1955 | 50
1958 | 55
1960 | 60
1962 | 65
1964 | 70
Passo 4
Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Aplicando isso:
Passo 5
Continuamos com as diferenças divididas de segunda ordem:
Por exemplo:
Repetimos isso para as próximas diferenças.
Passo 6
Continuamos calculando as diferenças de terceira e quarta ordem seguindo o mesmo processo. Isso nos dará todos os coeficientes necessários para o polinômio de Newton.
Passo 7
Com todos os coeficientes das diferenças divididas, montamos o polinômio de Newton da seguinte forma:
Usando nossos valores:
Passo 8
Finalmente, substituímos
no polinômio
para estimar a população nesse ano.
Resposta
A estimativa da população no ano de 1965 usando o polinômio interpolador de Newton de grau 4 é aproximadamente 75 habitantes.
Exercícios relacionados
Use o método de Jacobi, com aproximação inicial
para determinar a solução do sistema para
ou número máximo de 5 iterações.
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pontos
e
.
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Calcule uma aproximação para
Provar que a equação
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dado:
a) .
a)