Encontre o polinômio de Lagrange que interpola
pontos
e
.
Calcule uma aproximação para
. Determine o erro exato e uma limitação para o erro
Calcule uma aproximação para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio de Lagrange que interpola a função
nos pontos
,
e
. Além disso, queremos calcular uma aproximação para
, determinar o erro exato dessa aproximação e estabelecer um limite para esse erro. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios de interpolação, especificamente o de Lagrange, e como calcular erros de interpolação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Lagrange. É um tipo de polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. No nosso caso, queremos um polinômio de grau 2 (já que temos três pontos) que passa pelos pontos
,
e
.
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde
são os polinômios básicos de Lagrange definidos por:
Passo 3
Vamos calcular cada
para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos montar o polinômio de Lagrange substituindo os valores de
:
Vamos simplificar cada termo:
Calculando as frações:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:
Somando:
Passo 5
Agora que temos o polinômio de Lagrange, vamos calcular a aproximação para
:
Passo 6
Para determinar o erro exato, usamos a fórmula do erro para o polinômio de Lagrange:
Calculando
Então,
Passo 7
Agora, vamos determinar uma limitação para o erro usando a fórmula dada:
Onde:
-
é o máximo da derivada de ordem de no intervalo considerado. -
é o grau do polinômio, que aqui é 2.
Primeiro, calculamos a terceira derivada de
:
O valor absoluto da terceira derivada é:
No intervalo de
a
,
é máximo em
:
Agora, substituímos na fórmula do erro:
Calculando:
Resposta
A aproximação de
usando o polinômio de Lagrange é aproximadamente
. O erro exato dessa aproximação é de aproximadamente
, e a limitação para o erro é de até
.
Exercícios relacionados
Estime a profundidade deste ponto utilizando interpolação polinomial, método das diferenças finitas ascendentes. Considerar três casas decimais.
Considere
aproxime por um polinômio de grau 3 no intervalo
.
Use o método de Jacobi, com aproximação inicial
para determinar a solução do sistema para
ou número máximo de 5 iterações.
Construa o polinômio interpolador de Newton de grau 4 para estimar a população no ano 1965.