Encontre o polinômio de Lagrange que interpola pontos e .
Calcule uma aproximação para . Determine o erro exato e uma limitação para o erro

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio de Lagrange que interpola a função nos pontos , e . Além disso, queremos calcular uma aproximação para , determinar o erro exato dessa aproximação e estabelecer um limite para esse erro. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios de interpolação, especificamente o de Lagrange, e como calcular erros de interpolação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Lagrange. É um tipo de polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. No nosso caso, queremos um polinômio de grau 2 (já que temos três pontos) que passa pelos pontos , e .
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios básicos de Lagrange definidos por:

Passo 3

Vamos calcular cada para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio de Lagrange substituindo os valores de :
Vamos simplificar cada termo:
Calculando as frações:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:
Somando:

Passo 5

Agora que temos o polinômio de Lagrange, vamos calcular a aproximação para :

Passo 6

Para determinar o erro exato, usamos a fórmula do erro para o polinômio de Lagrange:
Calculando
Então,

Passo 7

Agora, vamos determinar uma limitação para o erro usando a fórmula dada:
Onde:
  • é o máximo da derivada de ordem de no intervalo considerado.
  • é o grau do polinômio, que aqui é 2.
Primeiro, calculamos a terceira derivada de :
O valor absoluto da terceira derivada é:
No intervalo de a , é máximo em :
Agora, substituímos na fórmula do erro:
Calculando:

Resposta

A aproximação de usando o polinômio de Lagrange é aproximadamente . O erro exato dessa aproximação é de aproximadamente , e a limitação para o erro é de até .

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