Encontre o polinômio de Lagrange que interpola f(x)=1 / x^2 nos pontos x0=2, x1=2,5 e x2=4.
Calcule uma aproximação para x=3. Determine o erro exato e uma limitação para o erro
|E(X)| <= M^n+1n+1(x-x0)(x-x1)(x-x2) ldots(x-xn)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio de Lagrange que interpola a função nos pontos , e . Além disso, queremos calcular uma aproximação para , determinar o erro exato dessa aproximação e estabelecer um limite para esse erro. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios de interpolação, especificamente o de Lagrange, e como calcular erros de interpolação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Lagrange. É um tipo de polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. No nosso caso, queremos um polinômio de grau 2 (já que temos três pontos) que passa pelos pontos P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x) , Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj e .
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios básicos de Lagrange definidos por:

Passo 3

Vamos calcular cada L0(x) = (x - 2,5)(x - 4)(2 - 2,5)(2 - 4) = (x - 2,5)(x - 4)(-0,5)(-2) = (x - 2,5)(x - 4)1 para L1(x) = (x - 2)(x - 4)(2,5 - 2)(2,5 - 4) = (x - 2)(x - 4)(0,5)(-1,5) = (x - 2)(x - 4)-0,75 :
Para L2(x) = (x - 2)(x - 2,5)(4 - 2)(4 - 2,5) = (x - 2)(x - 2,5)(2)(1,5) = (x - 2)(x - 2,5)3 :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio de Lagrange substituindo os valores de P(x) = f(2) cdot L0(x) + f(2,5) cdot L1(x) + f(4) cdot L2(x) :
P(x) = 14 cdot (x - 2,5)(x - 4) + 16,25 cdot ( - (x - 2)(x - 4)0,75 ) + 116 cdot (x - 2)(x - 2,5)3
P(x) = 14(x^2 - 6,5x + 10) - 16,25 cdot 0,75(x^2 - 6x + 8) + 116 cdot 3(x^2 - 4,5x + 5)
Vamos simplificar cada termo:
P(x) = 14x^2 - 6,54x + 104 - 14,6875x^2 + 64,6875x - 84,6875 + 148x^2 - 4,548x + 548
Calculando as frações:
P(x) = ( 14 - 14,6875 + 148 )x^2 + ( -6,54 + 64,6875 - 4,548 )x + ( 104 - 84,6875 + 548 )
Agora, somamos os termos semelhantes:
P(x) approx 0,25x^2 - 1,625x + 2,5 - 0,213x^2 + 1,283x - 1,707 + 0,0208x^2 - 0,09375x + 0,104
Calculando cada coeficiente:
P(x) approx (0,25 - 0,213 + 0,0208)x^2 + (-1,625 + 1,283 - 0,09375)x + (2,5 - 1,707 + 0,104)
Somando:
P(x) approx 0,0578x^2 - 0,435x + 0,897

Passo 5

Agora que temos o polinômio de Lagrange, vamos calcular a aproximação para P(3) = 0,0578(3)^2 - 0,435(3) + 0,897 :
P(3) = 0,0578 cdot 9 - 0,435 cdot 3 + 0,897
P(3) = 0,5202 - 1,305 + 0,897
P(3) approx 0,1122

Passo 6

Para determinar o erro exato, usamos a fórmula do erro para o polinômio de Lagrange:
E(x) = f(x) - P(x)
Calculando |E(3)| = |0,1111 - 0,1122| approx 0,0011
Então,

Passo 7

Agora, vamos determinar uma limitação para o erro usando a fórmula dada:
|E(x)| <= M^n+1(n+1)! cdot |(x - x0)(x - x1)(x - x2)|
Onde:
  • f'(x) = -2x^3, f''(x) = 6x^4, f'''(x) = -24x^5 é o máximo da derivada de ordem |f'''(x)| = 24x^5 de M = 242^5 = 2432 = 0,75 no intervalo considerado.
  • |E(3)| <= 0,75^33! cdot |(3 - 2)(3 - 2,5)(3 - 4)| é o grau do polinômio, que aqui é 2.
Primeiro, calculamos a terceira derivada de |E(3)| <= 0,4218756 cdot |(1)(0,5)(-1)| = 0,4218756 cdot 0,5 = 0,03515625 :
O valor absoluto da terceira derivada é:
No intervalo de a , é máximo em :
Agora, substituímos na fórmula do erro:
Calculando:

Resposta

A aproximação de usando o polinômio de Lagrange é aproximadamente . O erro exato dessa aproximação é de aproximadamente , e a limitação para o erro é de até .

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