Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a equação
tem uma única raiz real. Isso está dentro da matemática, mais especificamente na análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como funções contínuas e monotonicidade (quando a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo). Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a função
é contínua. Isso significa que não tem “buracos” ou “saltos” no seu gráfico. Quando uma função é contínua, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se a função muda de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa) em um intervalo, ela deve cruzar o eixo
nesse intervalo.
Passo 3
Agora, para garantir que a equação
tenha apenas uma raiz, precisamos que a função seja monótona, ou seja, que seja sempre crescente ou sempre decrescente. Se for isso, a função não vai “voltar atrás”, evitando que o gráfico cruze o eixo
mais de uma vez.
Passo 4
Vamos supor que
seja estritamente crescente. Isso significa que, se
, então
. Com essa propriedade, se a função cruza o eixo
uma vez, nunca vai cruzar de novo, já que está sempre aumentando.
Passo 5
Pela continuidade de
e por ser estritamente crescente, sabemos que
vai de menos infinito a mais infinito conforme
vai de menos para mais infinito. Assim, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz. E como a função é estritamente crescente, essa raiz é única.
Resposta
Portanto, pela continuidade e monotonicidade de
, a equação
possui uma única raiz real.