Provar que a equação f(x)=0 possui uma única raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a equação tem uma única raiz real. Isso está dentro da matemática, mais especificamente na análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como funções contínuas e monotonicidade (quando a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo). Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a função é contínua. Isso significa que não tem “buracos” ou “saltos” no seu gráfico. Quando uma função é contínua, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se a função muda de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa) em um intervalo, ela deve cruzar o eixo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, para garantir que a equação tenha apenas uma raiz, precisamos que a função seja monótona, ou seja, que seja sempre crescente ou sempre decrescente. Se for isso, a função não vai “voltar atrás”, evitando que o gráfico cruze o eixo mais de uma vez.

Passo 4

Vamos supor que seja estritamente crescente. Isso significa que, se , então . Com essa propriedade, se a função cruza o eixo uma vez, nunca vai cruzar de novo, já que está sempre aumentando.

Passo 5

Pela continuidade de e por ser estritamente crescente, sabemos que vai de menos infinito a mais infinito conforme vai de menos para mais infinito. Assim, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz. E como a função é estritamente crescente, essa raiz é única.

Resposta

Portanto, pela continuidade e monotonicidade de , a equação possui uma única raiz real.

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