Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que varepsilon dado:
a) integral0^pi e^sen(x) dx ; varepsilon=2 times 10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson, garantindo que o erro seja menor que . Isso envolve métodos de integração numérica, que são técnicas para aproximar o valor de integrais quando não é fácil ou possível encontrar uma solução exata.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo Tn = h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + k h) + f(b) ] em trapézios e somando as áreas deles. A fórmula é:
Onde é o tamanho de cada subintervalo.

Passo 3

Para garantir que o erro da Regra dos Trapézios seja menor que ET <= (b - a)^312 n^2 maxa <= x <= b |f''(x)| , usamos a estimativa do erro:
f'(x) = e^sin(x) cos(x)
Vamos calcular a segunda derivada de f''(x) = e^sin(x) (cos^2(x) - sin(x)) :
|f''(pi2)| = e^sin(pi2) (0 - 1) = e times 1 = e
O valor máximo de no intervalo ocorre em :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do erro:
2 times 10^-2 >= (pi - 0)^312 n^2 times e
Resolvendo para n >= raizpi^3 e12 times 2 times 10^-2 approx raiz31.0063 times 2.71830.24 approx raiz351.359 approx 18.74 :
Arredondamos para .

Passo 5

Agora, calculamos a aproximação usando h = pi19 approx 0.165 :
T19 = 0.1652 [ e^sin(0) + 2 sumk=1^18 e^sin(k times 0.165) + e^sin(pi) ]
Calculando os termos, obtemos uma aproximação para a integral usando a Regra dos Trapézios com erro menor que .

Passo 6

Agora, vamos usar a Regra de Simpson. Essa regra é mais precisa e usa parábolas para aproximar a curva. A fórmula é:
Sn = h3 [ f(a) + 4 sumk=1^n/2 f(a + (2k - 1) h) + 2 sumk=1^n/2 -1 f(a + 2k h) + f(b) ]
A Regra de Simpson requer que seja par.

Passo 7

A estimativa do erro para a Regra de Simpson é:
ES <= (b - a)^5180 n^4 maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
Vamos calcular a quarta derivada de . Após derivar várias vezes, encontramos que o valor máximo de no intervalo também é proporcional a .

Passo 8

Substituindo na fórmula do erro:
2 times 10^-2 >= pi^5 e180 n^4
Resolvendo para n >= ( pi^5 e180 times 2 times 10^-2 )^1/4 approx ( 306.0197 times 2.71833.6 )^1/4 approx ( 230.196 )^1/4 approx 3.45 :
Arredondamos para (já que deve ser par).

Passo 9

Agora, calculamos a aproximação usando h = pi4 approx 0.785 :
S4 = 0.7853 [ e^sin(0) + 4 ( e^sin(0.785) + e^sin(2.356) + e^sin(3.927) ) + e^sin(pi) ]
Calculando os termos, obtemos uma aproximação para a integral usando a Regra de Simpson com erro menor que .

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com e a Regra de Simpson com , obtemos aproximações para a integral com erro menor que .

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