Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que dado:
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando as regras dos Trapézios e de Simpson, garantindo que o erro seja menor que . Isso envolve métodos de integração numérica, que são técnicas para aproximar o valor de integrais quando não é fácil ou possível encontrar uma solução exata.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando as áreas deles. A fórmula é:
Onde é o tamanho de cada subintervalo.

Passo 3

Para garantir que o erro da Regra dos Trapézios seja menor que , usamos a estimativa do erro:
Vamos calcular a segunda derivada de :
O valor máximo de no intervalo ocorre em :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do erro:
Resolvendo para :
Arredondamos para .

Passo 5

Agora, calculamos a aproximação usando :
Calculando os termos, obtemos uma aproximação para a integral usando a Regra dos Trapézios com erro menor que .

Passo 6

Agora, vamos usar a Regra de Simpson. Essa regra é mais precisa e usa parábolas para aproximar a curva. A fórmula é:
A Regra de Simpson requer que seja par.

Passo 7

A estimativa do erro para a Regra de Simpson é:
Vamos calcular a quarta derivada de . Após derivar várias vezes, encontramos que o valor máximo de no intervalo também é proporcional a .

Passo 8

Substituindo na fórmula do erro:
Resolvendo para :
Arredondamos para (já que deve ser par).

Passo 9

Agora, calculamos a aproximação usando :
Calculando os termos, obtemos uma aproximação para a integral usando a Regra de Simpson com erro menor que .

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com e a Regra de Simpson com , obtemos aproximações para a integral com erro menor que .

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