Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando as regras dos Trapézios e de Simpson, garantindo que o erro seja menor que
. Isso envolve métodos de integração numérica, que são técnicas para aproximar o valor de integrais quando não é fácil ou possível encontrar uma solução exata.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo
em
trapézios e somando as áreas deles. A fórmula é:
Onde
é o tamanho de cada subintervalo.
Passo 3
Para garantir que o erro da Regra dos Trapézios seja menor que
, usamos a estimativa do erro:
Vamos calcular a segunda derivada de
:
O valor máximo de
no intervalo
ocorre em
:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula do erro:
Resolvendo para
:
Arredondamos para
.
Passo 5
Agora, calculamos a aproximação usando
:
Calculando os termos, obtemos uma aproximação para a integral usando a Regra dos Trapézios com erro menor que
.
Passo 6
Agora, vamos usar a Regra de Simpson. Essa regra é mais precisa e usa parábolas para aproximar a curva. A fórmula é:
A Regra de Simpson requer que
seja par.
Passo 7
A estimativa do erro para a Regra de Simpson é:
Vamos calcular a quarta derivada de
. Após derivar várias vezes, encontramos que o valor máximo de
no intervalo
também é proporcional a
.
Passo 8
Substituindo na fórmula do erro:
Resolvendo para
:
Arredondamos para
(já que deve ser par).
Passo 9
Agora, calculamos a aproximação usando
:
Calculando os termos, obtemos uma aproximação para a integral usando a Regra de Simpson com erro menor que
.
Resposta
Usando a Regra dos Trapézios com
e a Regra de Simpson com
, obtemos aproximações para a integral
com erro menor que
.
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