Construa uma tabela para a função usando os pontos 1.00, 1.10 e 1.20 (em radianos) e, usando a forma de Lagrange, obtenha um polinômio de grau 2 para estimar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir uma tabela para a função usando os pontos , e (todos em radianos). Depois, com esses pontos, vamos usar a fórmula de Lagrange para criar um polinômio de grau 2 que vai nos ajudar a estimar o valor de . Para isso, vamos precisar saber como calcular o cosseno de um número e entender a interpolação polinomial de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a tabela com os valores de e . Vamos calcular o cosseno para cada um desses pontos.
  • Para radiano:
  • Para radianos:
  • Para radianos:
Então, a tabela fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange de grau 2. A fórmula geral para três pontos é:
Onde , , e . Vamos substituir os valores na fórmula.

Passo 4

Vamos calcular cada parte do polinômio:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 6

Vamos somar os três termos para obter o polinômio :

Passo 7

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 8

Então, o polinômio de Lagrange de grau 2 é:

Passo 9

Agora, vamos usar esse polinômio para estimar . Basta substituir na equação:

Resposta

A estimativa de usando o polinômio de Lagrange de grau 2 é aproximadamente -0.5548.

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