Prove que se p é primo então o grupo
tem
geradores.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para provar que se
é um número primo, então o grupo
tem
geradores. Aqui, estamos trabalhando com teoria de grupos, especificamente com grupos cíclicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subgrupos, geradores e propriedades dos números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o conjunto dos inteiros de
a
com a operação de adição módulo
. Como
é primo,
forma um grupo cíclico, o que significa que existe pelo menos um elemento no grupo que, quando somado repetidamente, gera todos os outros elementos do grupo.
Passo 3
Um gerador do grupo
é um elemento
tal que, adicionando
a si mesmo várias vezes, você pode obter qualquer elemento do grupo. Em termos matemáticos, para todo
em
, existe um inteiro
tal que
.
Passo 4
Como
é um grupo de ordem
(número de elementos), e
é primo, sabemos que todos os elementos que não são zero têm ordem
. Isso significa que cada elemento não nulo pode gerar todo o grupo quando somado repetidamente.
Passo 5
Agora, vamos contar quantos desses geradores existem. Como zero não pode ser um gerador (somando zero sempre dá zero), os geradores são exatamente os elementos de
que são diferentes de zero. Portanto, há
elementos que podem servir como geradores do grupo.
Resposta
Portanto, se
é primo, o grupo
tem exatamente
geradores.
Exercícios relacionados
Quantos e quais os geradores do grupo cíclico
?
Demonstre que se p e q são primos então
.
Construa a tabua de operações do grupo
.
Mostre que
.