Quantos e quais os geradores do grupo cíclico
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos e quais são os geradores do grupo cíclico
. Isso está relacionado ao estudo de grupos cíclicos na álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são geradores e como identificar elementos que geram todo o grupo.
Passo 2
Primeiro, um grupo cíclico é um grupo onde todos os elementos podem ser gerados por potências de um único elemento, chamado de gerador. No nosso caso, o grupo
tem 12 elementos, então ele é cíclico de ordem 12.
Passo 3
Para encontrar os geradores de
, precisamos identificar quais elementos
têm a propriedade de gerar todo o grupo quando elevados a todas as potências possíveis. Em outras palavras, queremos que
percorra todos os 12 elementos do grupo.
Passo 4
Uma propriedade importante é que um elemento
será gerador do grupo se, e somente se, o máximo divisor comum (MDC) entre
e a ordem do grupo (12) for 1. Isso significa que
e 12 devem ser números primos entre si.
Passo 5
Vamos identificar quais valores de
entre 1 e 11 são coprimos com 12:
-
: ✅ -
: ❌ -
: ❌ -
: ❌ -
: ✅ -
: ❌ -
: ✅ -
: ❌ -
: ❌ -
: ❌ -
: ✅
Passo 6
Os valores de
que são coprimos com 12 são: 1, 5, 7 e 11. Portanto, os geradores do grupo
são:
Resposta
O grupo cíclico
tem 4 geradores, que são
,
,
e
.