Quantos e quais os geradores do grupo cíclico G=e, a, a^2, ldots, a^11 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos e quais são os geradores do grupo cíclico . Isso está relacionado ao estudo de grupos cíclicos na álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são geradores e como identificar elementos que geram todo o grupo.

Passo 2

Primeiro, um grupo cíclico é um grupo onde todos os elementos podem ser gerados por potências de um único elemento, chamado de gerador. No nosso caso, o grupo tem 12 elementos, então ele é cíclico de ordem 12.

Passo 3

Para encontrar os geradores de , precisamos identificar quais elementos têm a propriedade de gerar todo o grupo quando elevados a todas as potências possíveis. Em outras palavras, queremos que percorra todos os 12 elementos do grupo.

Passo 4

Uma propriedade importante é que um elemento será gerador do grupo se, e somente se, o máximo divisor comum (MDC) entre e a ordem do grupo (12) for 1. Isso significa que e 12 devem ser números primos entre si.

Passo 5

Vamos identificar quais valores de entre 1 e 11 são coprimos com 12:
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Passo 6

Os valores de que são coprimos com 12 são: 1, 5, 7 e 11. Portanto, os geradores do grupo são:

Resposta

O grupo cíclico tem 4 geradores, que são , , e .

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