Construa as tábuas de operações dos grupos:
b) (Z7 ^*, cdot)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir a tabela de operações para o grupo (Z7^*, cdot). Isso faz parte da matéria de álgebra, especificamente de grupos. Para isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação módulo 7 e identificar quais números pertencem a esse grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos do grupo Z7^*. Esse grupo é composto pelos números que são invertíveis em Z7, ou seja, aqueles que têm um inverso multiplicativo modulo 7. No caso de Z7, os elementos são:
Z7^* = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Passo 3

Agora, precisamos entender como fazer as multiplicações dentro desse grupo. A operação é a multiplicação comum, mas com um detalhe: todos os resultados devem ser calculados módulo 7, ou seja, o resto da divisão pela 7.
Por exemplo, para multiplicar 2 e 3 no grupo, fazemos:
2 cdot 3 = 6 equiv 6 pmod7
Mas se multiplicar 2 e 4:
2 cdot 4 = 8 equiv 1 pmod7
Percebeu como reduzimos o resultado para um número entre 0 e 6?

Passo 4

Vamos fazer isso para todos os pares de elementos no grupo. Para facilitar, vamos organizar tudo em uma tabela. As linhas e colunas vão representar os elementos do grupo, e cada célula mostra o resultado da multiplicação modulo 7.

Passo 5

Aqui está a tabela de operações para o grupo (Z7^*, cdot):
cdot 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1

Resposta

A tabela de operações para o grupo (Z7^*, cdot) é:
cdot 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
Essa tabela mostra todas as multiplicações possíveis entre os elementos do grupo Z7^*, com os resultados reduzidos módulo 7.

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