Construa as tábuas de operações dos grupos:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir a tabela de operações para o grupo
. Isso faz parte da matéria de álgebra, especificamente de grupos. Para isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação módulo 7 e identificar quais números pertencem a esse grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos do grupo
. Esse grupo é composto pelos números que são invertíveis em
, ou seja, aqueles que têm um inverso multiplicativo modulo 7. No caso de
, os elementos são:
Passo 3
Agora, precisamos entender como fazer as multiplicações dentro desse grupo. A operação é a multiplicação comum, mas com um detalhe: todos os resultados devem ser calculados módulo 7, ou seja, o resto da divisão pela 7.
Por exemplo, para multiplicar 2 e 3 no grupo, fazemos:
Mas se multiplicar 2 e 4:
Percebeu como reduzimos o resultado para um número entre 0 e 6?
Passo 4
Vamos fazer isso para todos os pares de elementos no grupo. Para facilitar, vamos organizar tudo em uma tabela. As linhas e colunas vão representar os elementos do grupo, e cada célula mostra o resultado da multiplicação modulo 7.
Passo 5
Aqui está a tabela de operações para o grupo
:
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Resposta
A tabela de operações para o grupo
é:
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Essa tabela mostra todas as multiplicações possíveis entre os elementos do grupo
, com os resultados reduzidos módulo 7.
Exercícios relacionados
Seja
um grupo contendo exatamente 2 n elementos,
inteiro. Prove que existe
, tal que
, onde
representa a identidade de G.
Prove que um elemento
tem inverso multiplicativo, se e somente se,
.
Seja
um grupo e
. Prove que se
então temos que para todo
:
Prove que:
b) , se p é primo e r é natural.
b)