Seja G um grupo contendo exatamente 2 n elementos, n >= 1 inteiro. Prove que existe x in G, x neq e, tal que x^2=e, onde e representa a identidade de G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que temos um grupo com exatamente elementos, onde é um número inteiro maior ou igual a 1. Nosso objetivo é provar que existe um elemento em diferente da identidade que, quando multiplicado por si mesmo ( ), resulta na identidade . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, especialmente sobre a ordem dos elementos e propriedades de grupos finitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um grupo, cada elemento tem uma ordem, que é o menor número inteiro positivo tal que . No nosso caso, queremos encontrar um elemento de ordem 2, ou seja, um tal que .

Passo 3

Agora, vamos considerar a estrutura do grupo . Sabemos que tem elementos, o que significa que a ordem de é uma potência de 2. Em grupos cujo número de elementos é par, é comum que existam elementos que são seus próprios inversos, ou seja, .

Passo 4

Se um elemento é igual ao seu inverso, temos que , o que implica . Portanto, se encontrarmos um elemento diferente da identidade que é igual ao seu inverso, teremos o que queremos.

Passo 5

Em grupos finitos, os elementos podem ser pareados com seus inversos. A única exceção é a identidade, que é sempre igual ao seu próprio inverso. Como tem elementos, que é um número par, e já temos a identidade, sobra pelo menos mais um par onde os elementos são iguais aos seus inversos.

Passo 6

Assim, existe pelo menos um elemento em , diferente de , tal que . Isso implica que , que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Existe pelo menos um elemento , diferente da identidade , tal que .

Exercícios relacionados

Prove que um elemento barx in Zm tem inverso multiplicativo, se e somente se, (barx, m)=1.
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y in A. Prove que:
a) barx=bary Leftrightarrow x sim y
Construa as tábuas de operações dos grupos:
b) (Z7 ^*, cdot)
Seja (G, *) um grupo e a in G. Prove que se |a|=n então temos que para todo m in Z:
a^m=e Leftrightarrow n mid m