Seja
um grupo contendo exatamente 2 n elementos,
inteiro. Prove que existe
, tal que
, onde
representa a identidade de G.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que temos um grupo
com exatamente
elementos, onde
é um número inteiro maior ou igual a 1. Nosso objetivo é provar que existe um elemento
em
diferente da identidade
que, quando multiplicado por si mesmo (
), resulta na identidade
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, especialmente sobre a ordem dos elementos e propriedades de grupos finitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um grupo, cada elemento tem uma ordem, que é o menor número inteiro positivo
tal que
. No nosso caso, queremos encontrar um elemento de ordem 2, ou seja, um
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a estrutura do grupo
. Sabemos que
tem
elementos, o que significa que a ordem de
é uma potência de 2. Em grupos cujo número de elementos é par, é comum que existam elementos que são seus próprios inversos, ou seja,
.
Passo 4
Se um elemento
é igual ao seu inverso, temos que
, o que implica
. Portanto, se encontrarmos um elemento diferente da identidade que é igual ao seu inverso, teremos o que queremos.
Passo 5
Em grupos finitos, os elementos podem ser pareados com seus inversos. A única exceção é a identidade, que é sempre igual ao seu próprio inverso. Como
tem
elementos, que é um número par, e já temos a identidade, sobra pelo menos mais um par onde os elementos são iguais aos seus inversos.
Passo 6
Assim, existe pelo menos um elemento
em
, diferente de
, tal que
. Isso implica que
, que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Existe pelo menos um elemento
, diferente da identidade
, tal que
.
Exercícios relacionados
Prove que um elemento
tem inverso multiplicativo, se e somente se,
.
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
a)
a)
Construa as tábuas de operações dos grupos:
b)
b)
Seja
um grupo e
. Prove que se
então temos que para todo
: