Prove que:
b) varphi(p^r)=p^r-p^r-1, se p é primo e r é natural.

Passo 1

Entendendo o Enunciado
A gente precisa provar que para um número primo varphi(p^r) = p^r - p^r-1 e um número natural , a função totiente de Euler satisfaz a igualdade:
Conteúdo Envolvido
Vamos usar a função totiente de Euler, que conta quantos números menores que são coprimos com . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de números coprimos e propriedades de números primos.

Passo 2

O Que é a Função Totiente de Euler?
A função totiente de Euler, representada por , conta quantos números entre 1 e são coprimos com . Dois números são coprimos se o único divisor comum deles é 1.

Passo 3

Analisando
Vamos calcular . Como é primo, os únicos divisores de são .

Passo 4

Determinação dos Números Coprimos com
Um número entre 1 e é coprimo com se não for divisível por . Ou seja, queremos contar todos os números nessa faixa que não são múltiplos de .

Passo 5

Calculando os Múltiplos de em
Os múltiplos de entre 1 e são . Há exatamente múltiplos de nesse intervalo, já que dividimos por .

Passo 6

Calculando os Números Coprimos
O total de números entre 1 e varphi(p^r) = p^r - p^r-1 é . Desses, são múltiplos de e, portanto, não são coprimos com .
Então, o número de números coprimos com é:

Resposta

Portanto, provamos que:
varphi(p^r) = p^r - p^r-1

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