Prove que:
b)
, se p é primo e r é natural.
b)
Passo 1
Entendendo o Enunciado
A gente precisa provar que para um número primo
e um número natural
, a função totiente de Euler satisfaz a igualdade:
Conteúdo Envolvido
Vamos usar a função totiente de Euler, que conta quantos números menores que
são coprimos com
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de números coprimos e propriedades de números primos.
Passo 2
O Que é a Função Totiente de Euler?
A função totiente de Euler, representada por
, conta quantos números entre 1 e
são coprimos com
. Dois números são coprimos se o único divisor comum deles é 1.
Passo 3
Analisando
Vamos calcular
. Como
é primo, os únicos divisores de
são
.
Passo 4
Determinação dos Números Coprimos com
Um número
entre 1 e
é coprimo com
se não for divisível por
. Ou seja, queremos contar todos os números nessa faixa que não são múltiplos de
.
Passo 5
Calculando os Múltiplos de
em
Os múltiplos de
entre 1 e
são
. Há exatamente
múltiplos de
nesse intervalo, já que dividimos
por
.
Passo 6
Calculando os Números Coprimos
O total de números entre 1 e
é
. Desses,
são múltiplos de
e, portanto, não são coprimos com
.
Então, o número de números coprimos com
é:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Seja
um grupo e
. Prove que se
então temos que para todo
:
Construa as tábuas de operações dos grupos:
b)
b)
Prove que
é cíclico. Encontre todos os seus geradores.
Determine todos os elementos
tais que
.