Prove que um elemento
tem inverso multiplicativo, se e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que um elemento
no conjunto dos inteiros módulo
, escrito como
, tem um inverso multiplicativo se e somente se o máximo divisor comum entre
e
é 1, ou seja,
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve aritmética modular e teoria dos números, especificamente sobre inversos e MDC (Máximo Divisor Comum).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um inverso multiplicativo em
. Um elemento
tem um inverso multiplicativo se existe outro elemento
em
tal que:
Isso significa que, quando multiplicamos
por
e dividimos por
, o resto é 1.
Passo 3
Agora, vamos mostrar a necessidade: se
tem inverso multiplicativo, então
. Suponha que existe
tal que
. Isso quer dizer que:
Isso implica que existe um inteiro
tal que:
Rearranjando, temos:
Pela Identidade de Bézout, isso só é possível se o MDC entre
e
for 1, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar a suficiência: se
, então
tem inverso multiplicativo. Sabemos que se o MDC de
e
é 1, então, novamente pela Identidade de Bézout, existem inteiros
e
tais que:
Tomando isso modulo
, temos:
Isso mostra que
é o inverso multiplicativo de
em
.
Resposta
Portanto, provamos que um elemento
tem inverso multiplicativo se e somente se o máximo divisor comum entre
e
é 1, ou seja,
.