Prove que um elemento barx in Zm tem inverso multiplicativo, se e somente se, (barx, m)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que um elemento barx no conjunto dos inteiros módulo m, escrito como Zm, tem um inverso multiplicativo se e somente se o máximo divisor comum entre x e m é 1, ou seja, (barx, m) = 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve aritmética modular e teoria dos números, especificamente sobre inversos e MDC (Máximo Divisor Comum).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um inverso multiplicativo em Zm. Um elemento barx tem um inverso multiplicativo se existe outro elemento bary em Zm tal que:
barx cdot bary = bar1
Isso significa que, quando multiplicamos x por y e dividimos por m, o resto é 1.

Passo 3

Agora, vamos mostrar a necessidade: se barx tem inverso multiplicativo, então (x, m) = 1. Suponha que existe bary tal que barx cdot bary = bar1. Isso quer dizer que:
x cdot y equiv 1 (mod m)
Isso implica que existe um inteiro k tal que:
x cdot y = 1 + k cdot m
Rearranjando, temos:
x cdot y - k cdot m = 1
Pela Identidade de Bézout, isso só é possível se o MDC entre x e m for 1, ou seja, (x, m) = 1.

Passo 4

Agora, vamos mostrar a suficiência: se (x, m) = 1, então barx tem inverso multiplicativo. Sabemos que se o MDC de x e m é 1, então, novamente pela Identidade de Bézout, existem inteiros y e k tais que:
x cdot y + m cdot k = 1
Tomando isso modulo m, temos:
x cdot y equiv 1 (mod m)
Isso mostra que bary é o inverso multiplicativo de barx em Zm.

Resposta

Portanto, provamos que um elemento barx in Zm tem inverso multiplicativo se e somente se o máximo divisor comum entre x e m é 1, ou seja, (barx, m) = 1.

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