Seja
um grupo e
. Prove que se
então temos que para todo
:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
nesse grupo com ordem
, ou seja,
. A gente precisa provar que para qualquer número inteiro
, a potência
é igual à identidade
se e somente se
divide
(escrito como
). Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos de teoria de grupos e propriedades de potências em grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a ordem de um elemento. A ordem de
,
, é o menor número inteiro positivo tal que
, onde
é o elemento identidade do grupo. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos entender o que queremos provar:
se e somente se
divide
. Isso significa que:
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos provar essas duas partes separadamente.
Passo 4
Parte 1: Se
, então
.
Sabemos que
e que
é a menor potência positiva que satisfaz isso. Se
, então
deve ser múltiplo de
. Por quê? Porque se não fosse, poderíamos escrever
como
, onde
. Então:
Como
, isso implica que
. Mas
é a menor potência positiva para a qual
, então
tem que ser 0. Portanto,
é múltiplo de
, ou seja,
.
Passo 5
Parte 2: Se
, então
.
Se
divide
, então podemos escrever
para algum inteiro
. Então:
Portanto, se
divide
, então
.
Resposta
Concluímos que, para todo
,
se e somente se
divide
, ou seja:
Exercícios relacionados
Construa as tábuas de operações dos grupos:
b)
b)
Seja
um grupo contendo exatamente 2 n elementos,
inteiro. Prove que existe
, tal que
, onde
representa a identidade de G.
Prove que:
b) , se p é primo e r é natural.
b)
Prove que
é cíclico. Encontre todos os seus geradores.