Seja (G, *) um grupo e a in G. Prove que se |a|=n então temos que para todo m in Z:
a^m=e Leftrightarrow n mid m

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo (G, *) e um elemento a nesse grupo com ordem n, ou seja, |a| = n. A gente precisa provar que para qualquer número inteiro m, a potência a^m é igual à identidade e se e somente se n divide m (escrito como n mid m). Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos de teoria de grupos e propriedades de potências em grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a ordem de um elemento. A ordem de a, |a| = n, é o menor número inteiro positivo tal que a^n = e, onde e é o elemento identidade do grupo. Isso significa que:
a^n = e

Passo 3

Agora, vamos entender o que queremos provar: a^m = e se e somente se n divide m. Isso significa que:
  1. Se a^m = e, então n mid m.
  2. Se n mid m, então a^m = e.
Vamos provar essas duas partes separadamente.

Passo 4

Parte 1: Se a^m = e, então n mid m.
Sabemos que a^n = e e que n é a menor potência positiva que satisfaz isso. Se a^m = e, então m deve ser múltiplo de n. Por quê? Porque se não fosse, poderíamos escrever m como m = qn + r, onde 0 <= r < n. Então:
a^m = a^qn + r = (a^n)^q * a^r = e^q * a^r = e * a^r = a^r
Como a^m = e, isso implica que a^r = e. Mas n é a menor potência positiva para a qual a^n = e, então r tem que ser 0. Portanto, m é múltiplo de n, ou seja, n mid m.

Passo 5

Parte 2: Se n mid m, então a^m = e.
Se n divide m, então podemos escrever m = kn para algum inteiro k. Então:
a^m = a^kn = (a^n)^k = e^k = e
Portanto, se n divide m, então a^m = e.

Resposta

Concluímos que, para todo m in Z, a^m = e se e somente se n divide m, ou seja:
a^m=e Leftrightarrow n mid m

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