Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é uma transformação linear e queremos construir essa transformação de tal forma que a imagem dela, que é o conjunto de todas as saídas possíveis da transformação, seja exatamente o conjunto gerado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz que representa será uma matriz de tamanho (duas linhas e três colunas). Essa matriz vai transformar qualquer vetor de três componentes em um vetor de duas componentes.

Passo 3

Agora, queremos que a imagem de seja gerada pelos vetores e . Isso significa que as colunas da matriz que representa devem ser combinações lineares desses vetores. Vamos montar a matriz com essas colunas. Como temos três colunas (porque é de ), vamos repetir os vetores para preencher as três colunas.
Então, a matriz fica assim:
Aqui, as duas primeiras colunas são exatamente os vetores e , e a terceira coluna foi escolhida de forma que a matriz tenha posto 2, garantindo que a imagem seja exatamente o que a gente quer.

Passo 4

Com a matriz definida, a transformação linear pode ser escrita como:
onde é um vetor de . Isso significa que para qualquer vetor , a transformação vai calcular:

Resposta

A transformação linear que satisfaz a condição dada é:
Ou seja, se , então:

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Ex. 1. Simplifique as expressões:
(f) ;
Determine a matriz do operador linear Seja , relativa à base canônica, sabendo que e .
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(g)
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .