Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: T: R^3 R^2 tal que Im(T)=[(1,2),(1,1)].

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é uma transformação linear e queremos construir essa transformação de tal forma que a imagem dela, que é o conjunto de todas as saídas possíveis da transformação, seja exatamente o conjunto gerado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz que representa será uma matriz de tamanho (duas linhas e três colunas). Essa matriz vai transformar qualquer vetor de três componentes em um vetor de duas componentes.

Passo 3

Agora, queremos que a imagem de A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 seja gerada pelos vetores e . Isso significa que as colunas da matriz que representa devem ser combinações lineares desses vetores. Vamos montar a matriz com essas colunas. Como temos três colunas (porque é de ), vamos repetir os vetores para preencher as três colunas.
Então, a matriz fica assim:
Aqui, as duas primeiras colunas são exatamente os vetores e , e a terceira coluna foi escolhida de forma que a matriz tenha posto 2, garantindo que a imagem seja exatamente o que a gente quer.

Passo 4

Com a matriz T(x) = A x definida, a transformação linear T(x) = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 x1 x2 x3 = x1 + x2 + x3 2x1 + x2 pode ser escrita como:
onde é um vetor de . Isso significa que para qualquer vetor , a transformação vai calcular:

Resposta

A transformação linear que satisfaz a condição dada é:
T(x) = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 x
Ou seja, se T(x) = x1 + x2 + x3 2x1 + x2 , então:

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