Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que construir uma transformação linear
que tenha como imagem o conjunto gerado pelo vetor
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e imagem (ou imagem) de uma transformação. Vamos precisar entender como definir uma transformação linear e garantir que todos os vetores na imagem sejam múltiplos desse vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
é definida por como ela atua nos vetores da base do domínio. No caso, nosso domínio é
, e a base padrão é formada pelos vetores
e
.
Passo 3
Queremos que todos os vetores na imagem de
sejam múltiplos de
. Isso significa que, independentemente dos valores de
e
em
,
deve ser algo como
, onde
é uma combinação linear de
e
.
Passo 4
Vamos definir
de forma que:
Aqui,
precisa ser uma função linear dos componentes
e
. Uma escolha simples para
é
, já que é uma combinação linear dos dois.
Passo 5
Substituindo
na equação de
, temos:
Isso significa que:
Passo 6
Vamos verificar se a imagem de
realmente é
. Como qualquer saída de
é um múltiplo de
, confirmamos que a imagem está correta.
Resposta
A transformação linear que satisfaz a condição é:
Exercícios relacionados
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(g)
(g)
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(l) ;
(l)
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.