Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: T: R^2 R^3 tal que Im(T)=[(0,3,-1)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir uma transformação linear que tenha como imagem o conjunto gerado pelo vetor . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e imagem (ou imagem) de uma transformação. Vamos precisar entender como definir uma transformação linear e garantir que todos os vetores na imagem sejam múltiplos desse vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é definida por como ela atua nos vetores da base do domínio. No caso, nosso domínio é , e a base padrão é formada pelos vetores e .

Passo 3

Queremos que todos os vetores na imagem de sejam múltiplos de . Isso significa que, independentemente dos valores de e em , deve ser algo como , onde é uma combinação linear de e .

Passo 4

Vamos definir T(x, y) = k(x, y) cdot (0,3,-1) de forma que:
Aqui, precisa ser uma função linear dos componentes e . Uma escolha simples para é , já que é uma combinação linear dos dois.

Passo 5

Substituindo T(x, y) = (0, 3(x + y), -1(x + y)) na equação de T(x, y) = (0, 3x + 3y, -x - y) , temos:
Isso significa que:

Passo 6

Vamos verificar se a imagem de realmente é . Como qualquer saída de é um múltiplo de , confirmamos que a imagem está correta.

Resposta

A transformação linear que satisfaz a condição é:
T(x, y) = (0, 3x + 3y, -x - y)

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