Determine a matriz do operador linear Seja , relativa à base canônica, sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a matriz de um operador linear na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos operadores lineares e saber como representar em termos da matriz que transforma os vetores da base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz tal que para qualquer vetor em . Nossa missão é descobrir qual é essa matriz .

Passo 3

Sabemos que e . Vamos chamar a matriz de:
Então, temos as seguintes equações a partir das aplicações de :

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados:
Para :

[


]
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Para :

[


=

]
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação (1):
Substituindo na equação (3):
Agora, usando na equação (5):

Passo 7

Agora vamos resolver para e . Da equação (2):
Substituindo na equação (4):
Usando na equação (6):

Resposta

Portanto, a matriz do operador linear na base canônica é:

Exercícios relacionados

Ex. 1. Simplifique as expressões:
© ;
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(e) ;
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(f) ;
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .