Determine a matriz do operador linear Seja T: R^2 R^2, relativa à base canônica, sabendo que T(1,1)=(2,3) e T(-1,1)=(4,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a matriz de um operador linear na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos operadores lineares e saber como representar em termos da matriz que transforma os vetores da base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz tal que para qualquer vetor em . Nossa missão é descobrir qual é essa matriz .

Passo 3

Sabemos que A = a & b c & d e A 1 1 = 2 3 e A -1 1 = 4 5 . Vamos chamar a matriz de:
Então, temos as seguintes equações a partir das aplicações de :

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz a & b c & d 1 1 = a + b c + d = 2 3 pelos vetores dados:
Para a + b = 2 (1) c + d = 3 (2) :

[


]
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Para a & b c & d -1 1 = - a + b - c + d = 4 5 :

[
- a + b = 4 (3) - c + d = 5 (4)


=

]
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação (1):
a + b = 2 Rightarrow a = 2 - b (5)
Substituindo - (2 - b) + b = 4 -2 + b + b = 4 2b = 6 b = 3 na equação (3):
a = 2 - 3 = -1
Agora, usando na equação (5):

Passo 7

Agora vamos resolver para c + d = 3 Rightarrow c = 3 - d (6) e - (3 - d) + d = 5 -3 + d + d = 5 2d = 8 d = 4 . Da equação (2):
c = 3 - 4 = -1
Substituindo na equação (4):
Usando na equação (6):

Resposta

Portanto, a matriz do operador linear A = -1 & 3 -1 & 4 na base canônica é:

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