Determine a matriz do operador linear Seja
, relativa à base canônica, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a matriz de um operador linear
na base canônica. A base canônica de
é formada pelos vetores
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos operadores lineares e saber como representar
em termos da matriz que transforma os vetores da base canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear
pode ser representado por uma matriz
tal que
para qualquer vetor
em
. Nossa missão é descobrir qual é essa matriz
.
Passo 3
Sabemos que
e
. Vamos chamar a matriz
de:
Então, temos as seguintes equações a partir das aplicações de
:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz
pelos vetores dados:
Para
:
[
]
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Para
:
[
=
]
Isso nos dá mais duas equações:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação (1):
Substituindo
na equação (3):
Agora, usando
na equação (5):
Passo 7
Agora vamos resolver para
e
. Da equação (2):
Substituindo
na equação (4):
Usando
na equação (6):
Resposta
Portanto, a matriz do operador linear
na base canônica é:
Exercícios relacionados
Ex. 1. Simplifique as expressões:
© ;
©
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(e) ;
(e)
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(f) ;
(f)
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.