Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos construir uma transformação linear tal que a imagem de , ou seja, , seja o conjunto de todos os pares em que satisfazem a equação . Isso significa que a imagem de é uma reta no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação linear.
Passo 2
Uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de dimensão . Vamos considerar:
Essa matriz vai transformar um vetor de em outro vetor em .
Passo 3
A imagem de é formada por todas as combinações lineares das colunas da matriz . Queremos que essa imagem seja exatamente a reta definida por . Isso significa que cada coluna de deve satisfazer essa equação, ou seja:
Passo 4
Resolvendo essas equações, obtemos:
Isso nos mostra como os elementos da segunda linha da matriz se relacionam com os da primeira linha.
Passo 5
Podemos escolher valores para livremente. Para facilitar, vamos escolher:
Então, substituindo nas equações anteriores:
Passo 6
Com esses valores, a matriz fica:
Resposta
A transformação linear que satisfaz é dada pela matriz: