Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: T: R^3 R^2 tal que Im(T)=(x, y) in R^2: 2 x-y=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos construir uma transformação linear tal que a imagem de , ou seja, , seja o conjunto de todos os pares em que satisfazem a equação . Isso significa que a imagem de é uma reta no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação linear.

Passo 2

Uma transformação linear de A = a & b & c d & e & f para v1 v2 v3 pode ser representada por uma matriz de dimensão . Vamos considerar:
Essa matriz vai transformar um vetor de em outro vetor em .

Passo 3

A imagem de 2a - d = 0 2b - e = 0 2c - f = 0 é formada por todas as combinações lineares das colunas da matriz . Queremos que essa imagem seja exatamente a reta definida por . Isso significa que cada coluna de deve satisfazer essa equação, ou seja:

Passo 4

Resolvendo essas equações, obtemos:
d = 2a e = 2b f = 2c
Isso nos mostra como os elementos da segunda linha da matriz se relacionam com os da primeira linha.

Passo 5

Podemos escolher valores para a = 1, b = 0, c = 0 livremente. Para facilitar, vamos escolher:
d = 2(1) = 2 e = 2(0) = 0 f = 2(0) = 0
Então, substituindo nas equações anteriores:

Passo 6

Com esses valores, a matriz A = 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 fica:

Resposta

A transformação linear T(v) = A v = 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 v1 v2 v3 = v1 2v1 que satisfaz é dada pela matriz:

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