Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos construir uma transformação linear tal que a imagem de , ou seja, , seja o conjunto de todos os pares em que satisfazem a equação . Isso significa que a imagem de é uma reta no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação linear.
Passo 2
Uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de dimensão . Vamos considerar:
Essa matriz vai transformar um vetor de em outro vetor em .
Passo 3
A imagem de 2a - d = 0 2b - e = 0 2c - f = 0 é formada por todas as combinações lineares das colunas da matriz . Queremos que essa imagem seja exatamente a reta definida por . Isso significa que cada coluna de deve satisfazer essa equação, ou seja:
Passo 4
Resolvendo essas equações, obtemos:
d = 2a e = 2b f = 2c
Isso nos mostra como os elementos da segunda linha da matriz se relacionam com os da primeira linha.
Passo 5
Podemos escolher valores para a = 1, b = 0, c = 0 livremente. Para facilitar, vamos escolher:
d = 2(1) = 2 e = 2(0) = 0 f = 2(0) = 0
Então, substituindo nas equações anteriores:
Passo 6
Com esses valores, a matriz A = 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 fica:
Resposta
A transformação linear T(v) = A v = 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 v1 v2 v3 = v1 2v1 que satisfaz é dada pela matriz: