Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para construir uma transformação linear tal que a imagem de , ou seja, todos os vetores que pode produzir, seja o conjunto . A matéria envolvida aqui é Transformações Lineares e Subespaços Vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como podemos definir uma matriz que tenha essa imagem específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . No nosso caso, esse conjunto é definido pela equação , que representa um plano no espaço tridimensional.
Passo 3
Para construir , precisamos criar uma matriz de que represente essa transformação linear. A coluna de deve ser tal que, quando multiplicada por qualquer vetor de , o resultado esteja sempre no plano .
Passo 4
Uma maneira de garantir que os vetores da imagem estejam no plano dado é escolher duas colunas de que sejam vetores independentes nesse plano e definir a terceira coluna como o vetor zero. Isso porque, ao fazer isso, a combinação linear das colunas de sempre satisfará a equação .
Passo 5
Vamos encontrar dois vetores que satisfaçam . Por exemplo:
Se e , então , então temos o vetor .
Se e , então , então temos o vetor .
Passo 6
Agora, vamos construir a matriz com essas duas colunas e uma terceira coluna nula:
Essa matriz garante que qualquer combinação linear das colunas estará no plano .
Resposta
A transformação linear desejada é dada pela matriz