Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir uma transformação linear que tenha como kernel todos os vetores que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos (kernels).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o kernel de uma transformação linear. O kernel de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, .

Passo 3

A equação dada para o kernel é . Isso significa que qualquer vetor que satisfaz essa equação deve ser mapeado para por . Nosso objetivo é definir de forma que esta condição seja atendida.

Passo 4

Para construir , podemos pensar em uma matriz que, quando multiplicada por um vetor , produza um vetor em . Vamos chamar essa matriz de , onde será uma matriz . Assim, .

Passo 5

Queremos que seja exatamente os vetores que satisfazem . Para isso, uma forma simples de garantir isso é fazer com que uma das linhas de seja exatamente os coeficientes dessa equação. Por exemplo, podemos escolher:

Passo 6

Com essa escolha de , quando multiplicamos por , obtemos:

Passo 7

Agora, vamos verificar se o kernel realmente corresponde aos vetores que satisfazem . Se , então:
Isso mostra que o kernel de é exatamente o conjunto dado.

Resposta

A transformação linear que satisfaz as condições é:

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Ex. 2. Simplifique:
(m) ;
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: tal que .
Ex. 2. Simplifique:
(o) ;
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
© ;