Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que construir uma transformação linear
que tenha como kernel todos os vetores
que satisfazem a equação
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos (kernels).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o kernel de uma transformação linear. O kernel de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja,
.
Passo 3
A equação dada para o kernel é
. Isso significa que qualquer vetor
que satisfaz essa equação deve ser mapeado para
por
. Nosso objetivo é definir
de forma que esta condição seja atendida.
Passo 4
Para construir
, podemos pensar em uma matriz que, quando multiplicada por um vetor
, produza um vetor em
. Vamos chamar essa matriz de
, onde
será uma matriz
. Assim,
.
Passo 5
Queremos que
seja exatamente os vetores que satisfazem
. Para isso, uma forma simples de garantir isso é fazer com que uma das linhas de
seja exatamente os coeficientes dessa equação. Por exemplo, podemos escolher:
Passo 6
Com essa escolha de
, quando multiplicamos
por
, obtemos:
Passo 7
Agora, vamos verificar se o kernel realmente corresponde aos vetores que satisfazem
. Se
, então:
Isso mostra que o kernel de
é exatamente o conjunto dado.
Resposta
A transformação linear que satisfaz as condições é:
Exercícios relacionados
Ex. 2. Simplifique:
(m) ;
(m)
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.
Ex. 2. Simplifique:
(o) ;
(o)
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
© ;
©