Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: T: R^3 R^2 tal que Ker(T)=(x, y, z) in R^3: x-y+2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir uma transformação linear que tenha como kernel todos os vetores que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos (kernels).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o kernel de uma transformação linear. O kernel de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, .

Passo 3

A equação dada para o kernel é . Isso significa que qualquer vetor que satisfaz essa equação deve ser mapeado para por . Nosso objetivo é definir de forma que esta condição seja atendida.

Passo 4

Para construir , podemos pensar em uma matriz que, quando multiplicada por um vetor , produza um vetor em . Vamos chamar essa matriz de , onde será uma matriz . Assim, .

Passo 5

Queremos que A = 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 seja exatamente os vetores que satisfazem . Para isso, uma forma simples de garantir isso é fazer com que uma das linhas de seja exatamente os coeficientes dessa equação. Por exemplo, podemos escolher:

Passo 6

Com essa escolha de T(v) = Av = 1 cdot x + (-1) cdot y + 2 cdot z 0 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = x - y + 2z 0 , quando multiplicamos por , obtemos:

Passo 7

Agora, vamos verificar se o kernel realmente corresponde aos vetores que satisfazem 0 0 . Se x - y + 2z = 0 , então:
Isso mostra que o kernel de é exatamente o conjunto dado.

Resposta

A transformação linear que satisfaz as condições é:
T(x, y, z) = x - y + 2z 0

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