Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de transformação linear. O enunciado pede para construir uma transformação linear
tal que o núcleo de
(ou seja, todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) seja o conjunto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que é o núcleo de uma transformação e como construir uma transformação que atenda à condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
é uma função que satisfaz duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer vetores . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
O núcleo de uma transformação linear,
, é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
No nosso caso, o núcleo de
é dado por
. Isso significa que todos os vetores no eixo
são mapeados para o vetor zero por
.
Para construir uma transformação linear que satisfaça essa condição, podemos definir
de forma que o componente
do vetor de entrada seja preservado ou modificado de maneira que apenas quando
, o resultado seja zero.
Passo 4
Uma maneira simples de fazer isso é definir a transformação
de forma que:
Vamos verificar se essa transformação atende à condição do núcleo.
Passo 5
Aplicando
ao vetor
:
Agora, queremos que
. Isso acontece quando
, independentemente do valor de
. Portanto, o núcleo de
é exatamente
, que corresponde ao conjunto
.
Resposta
A transformação linear que satisfaz
é definida por:
Exercícios relacionados
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(j) ;
(j)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e) ;
(e)
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(a)
(a)
Determine
e
da transformação linear
dada por
.