Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: T: R^2 R^2 tal que Ker(T)=(x, y) in R^2: x=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transformação linear. O enunciado pede para construir uma transformação linear tal que o núcleo de (ou seja, todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) seja o conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que é o núcleo de uma transformação e como construir uma transformação que atenda à condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função que satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
O núcleo de uma transformação linear, , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

No nosso caso, o núcleo de é dado por . Isso significa que todos os vetores no eixo são mapeados para o vetor zero por .
Para construir uma transformação linear que satisfaça essa condição, podemos definir de forma que o componente do vetor de entrada seja preservado ou modificado de maneira que apenas quando , o resultado seja zero.

Passo 4

Uma maneira simples de fazer isso é definir a transformação T(x, y) = (x, 0) de forma que:
Vamos verificar se essa transformação atende à condição do núcleo.

Passo 5

Aplicando T(x, y) = (x, 0) ao vetor :
Agora, queremos que . Isso acontece quando , independentemente do valor de . Portanto, o núcleo de é exatamente , que corresponde ao conjunto .

Resposta

A transformação linear que satisfaz T(x, y) = (x, 0) é definida por:

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