Determine
e
da transformação linear
dada por
.
Passo 1
Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, ou seja,
. A transformação é definida por
, onde
é a derivada do polinômio
.
Para resolver, precisamos encontrar dois conjuntos importantes:
- Núcleo (
): Conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o polinômio zero por . - Imagem (
): Conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando em algum polinômio de .
Vamos precisar entender como a derivada de um polinômio funciona e como multiplicar por
afeta o polinômio resultante.
Passo 2
Encontrando o Núcleo (
):
O núcleo é formado por todos os polinômios
tais que
.
Vamos começar considerando um polinômio geral em
:
Onde
são coeficientes reais.
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicando a transformação
:
Para que
, precisamos que:
Isso deve ser válido para todo
, o que significa que os coeficientes de
e
devem ser zero:
Portanto, os polinômios no núcleo têm
e
. Ou seja:
São apenas os polinômios constantes.
Passo 3
Encontrando a Imagem (
):
A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter aplicando
em algum polinômio de
.
Pelo cálculo anterior:
Onde
.
Observamos que os termos constantes desaparecem na imagem, ficando apenas os termos de
e
. Portanto, qualquer polinômio na imagem tem a forma:
Onde
e
são reais (pode ser qualquer número real, dependendo dos coeficientes
e
do polinômio original).
Isso significa que a imagem é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que não têm termo constante.
Resposta
Exercícios relacionados
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(a)
(a)
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
.
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(a)
(a)
Seja
, onde
: Encontre
onde
para
.