Determine Ker(T) e Im(T) da transformação linear T: P2 P2 dada por T(p(x))=x p^prime(x).

Passo 1

Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . A transformação é definida por , onde é a derivada do polinômio .
Para resolver, precisamos encontrar dois conjuntos importantes:
  1. Núcleo ( ): Conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o polinômio zero por .
  2. Imagem ( ): Conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando em algum polinômio de .
Vamos precisar entender como a derivada de um polinômio funciona e como multiplicar por afeta o polinômio resultante.

Passo 2

Encontrando o Núcleo ( p(x) = a + b x + c x^2 ):
O núcleo é formado por todos os polinômios p'(x) = b + 2 c x tais que T(p(x)) = x cdot p'(x) = x (b + 2 c x) = b x + 2 c x^2 .
Vamos começar considerando um polinômio geral em b x + 2 c x^2 = 0 :
b = 0 2 c = 0 Rightarrow c = 0
Onde p(x) = a são coeficientes reais.
Agora, calculamos a derivada de :
Aplicando a transformação :
Para que , precisamos que:
Isso deve ser válido para todo , o que significa que os coeficientes de e devem ser zero:
Portanto, os polinômios no núcleo têm e . Ou seja:
São apenas os polinômios constantes.

Passo 3

Encontrando a Imagem ( T(p(x)) = b x + 2 c x^2 ):
A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter aplicando q(x) = k x + m x^2 em algum polinômio de .
Pelo cálculo anterior:
Onde .
Observamos que os termos constantes desaparecem na imagem, ficando apenas os termos de e . Portanto, qualquer polinômio na imagem tem a forma:
Onde e são reais (pode ser qualquer número real, dependendo dos coeficientes e do polinômio original).
Isso significa que a imagem é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que não têm termo constante.

Resposta

Ker(T) = , a mid a in R , Im(T) = , k x + m x^2 mid k, m in R ,

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