Construir curvas e superfícies que contêm pontos especificados é uma interessante aplicação da álgebra linear. Após uma breve introdução ao assunto, os termos técnicos e procedimentos da álgebra linear são apresentados e usados em um exemplo.
1.3.1 Introdução. Considerem-se os seguintes problemas a respeito da determinação de linhas retas, parábolas, circunferências etc. que contêm pontos fixados.
(1) Dados os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2). Determinar a equação da linha reta ( r ) que contém esses dois pontos P1 e P2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois pontos no plano cartesiano, e , e precisamos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados às equações das retas.

Passo 2

Para encontrar a equação da reta, precisamos determinar o coeficiente angular (ou inclinação) da reta, que representa a inclinação da reta em relação ao eixo x. A fórmula para calcular o coeficiente angular m = y2 - y1x2 - x1 entre dois pontos é:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular usando os pontos dados. Substituindo os valores na fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1
Isso nos dá a inclinação da reta que conecta os pontos e .

Passo 4

Com o coeficiente angular y - y1 = m (x - x1) calculado, podemos usar a forma da equação da reta conhecida como forma ponto-inclinação, que é:
Aqui, é um dos pontos pelos quais a reta passa, e é o coeficiente angular que já encontramos.

Passo 5

Substituímos o valor de e as coordenadas de um dos pontos na equação ponto-inclinação. Isso nos permitirá simplificar a equação e expressá-la na forma mais comum, que geralmente é , onde é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).

Passo 6

Após simplificar, teremos a equação da reta que passa pelos pontos e . Essa equação representa todas as coordenadas que estão na reta desejada.

Resposta

A equação da reta y = y2 - y1x2 - x1 (x - x1) + y1 que contém os pontos e é:

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