Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.5 Determinar todos os valores de tais que o polinômio verifique as condições e .

Passo 1

Aqui, temos um polinômio de segundo grau . Queremos encontrar todos os valores reais de , e que satisfazem as condições e . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando essas condições e então resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a condição . Substituindo na expressão de :
Simplificando:
çã

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição . Substituindo na expressão de :
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema subtraindo a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 3:
çã

Passo 5

Agora, podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos resolver a Equação 3 para :

Passo 6

Com o valor de encontrado, vamos substituir na Equação 1 para encontrar :
Simplificando:
Isolando :

Resposta

Os valores de , e que satisfazem as condições dadas são:
onde pode ser qualquer número real. Ou seja, as soluções dependem do valor escolhido para .

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b) Para qual valor o veotr é combinação linear de e ?