Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.5 Determinar todos os valores de a, b, c in R tais que o polinômio p(x)=a x^2+b x+c verifique as condições p(-1)=4 e p(2)=1.

Passo 1

Aqui, temos um polinômio de segundo grau . Queremos encontrar todos os valores reais de , e que satisfazem as condições e . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando essas condições e então resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a condição a(-1)^2 + b(-1) + c = 4 . Substituindo a - b + c = 4 (Equação 1) na expressão de :
Simplificando:
çã

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição a(2)^2 + b(2) + c = 1 . Substituindo 4a + 2b + c = 1 (Equação 2) na expressão de :
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
a - b + c = 4 (Equação 1) 4a + 2b + c = 1 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema subtraindo a Equação 1 da Equação 2 para eliminar (4a + 2b + c) - (a - b + c) = 1 - 4 :
3a + 3b = -3
Simplificando:
a + b = -1 (Equação 3)
Dividindo todos os termos por 3:
çã

Passo 5

Agora, podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos resolver a Equação 3 para a = -1 - b :

Passo 6

Com o valor de (-1 - b) - b + c = 4 encontrado, vamos substituir na Equação 1 para encontrar -1 - 2b + c = 4 :
c = 5 + 2b
Simplificando:
Isolando :

Resposta

Os valores de a = -1 - b , c = 5 + 2b e que satisfazem as condições dadas são:
onde pode ser qualquer número real. Ou seja, as soluções dependem do valor escolhido para .

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