Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.3 Determinar a equação da parábola que contêm os pontos A=(3,4), B=(-1,0), C=(7,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar o conteúdo de funções quadráticas e sistemas de equações. Precisamos montar equações usando a forma geral da parábola e resolver para encontrar os coeficientes que definem essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma geral de uma parábola é dada por:
y = ax^2 + bx + c
Aqui, , e são coeficientes que determinam a forma e a posição da parábola.

Passo 3

Agora, vamos usar os três pontos fornecidos para montar um sistema de equações. Substituímos as coordenadas de cada ponto na equação da parábola:
Para 4 = a(3)^2 + b(3) + c 4 = 9a + 3b + c (Equação 1) :
0 = a(-1)^2 + b(-1) + c 0 = a - b + c (Equação 2) çã
Para 0 = a(7)^2 + b(7) + c 0 = 49a + 7b + c (Equação 3) :
çã
Para :
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
9a + 3b + c = 4 (Equação 1) a - b + c = 0 (Equação 2) 49a + 7b + c = 0 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(9a + 3b + c) - (a - b + c) = 4 - 0 8a + 4b = 4 2a + b = 1 (Equação 4) çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
(49a + 7b + c) - (a - b + c) = 0 - 0 48a + 8b = 0 6a + b = 0 (Equação 5) çã
Agora, subtraímos a Equação 5 da Equação 4:
(2a + b) - (6a + b) = 1 - 0 -4a = 1 a = -14
Com o valor de 6(-14) + b = 0 -32 + b = 0 b = 32 , substituímos na Equação 5:
-14 - 32 + c = 0 -74 + c = 0 c = 74
Agora, substituímos e na Equação 2 para encontrar :

Resposta

A equação da parábola que passa pelos pontos y = -14x^2 + 32x + 74 , e é:

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