Sejam os vetores e em .
a) Escreva o vetor como combinação linear de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar números e tais que:
Passo 2
Primeiro, vamos escrever isso de forma mais detalhada usando as componentes dos vetores:
Isso dá três equações, uma para cada componente:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 14 = 4a - 2b (1) -22 = -6a + 4b (2) e 28 = 8a - 4b (1a) . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação aqui.
Primeiro, pegamos as duas primeiras equações:
28 + (-22) = (8a - 4b) + (-6a + 4b)
Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de 6 = 2a :
a = 3
Agora, somamos a equação (1a) com a equação (2):
Então:
Passo 4
Agora que encontramos 14 = 4(3) - 2b , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar 14 = 12 - 2b :
14 - 12 = -2b
2 = -2b
b = -1
Passo 5
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
4 = 4a + 8b
4 = 4(3) + 8(-1)
4 = 12 - 8
4 = 4
Está certinho!
Resposta
O vetor w = 3 cdot u - 1 cdot v pode ser escrito como combinação linear de w = 3u - v e da seguinte forma: