Sejam os vetores u=(4,-6,4) e v=(-2,4,8) em R^3.
a) Escreva o vetor w=(14,-22,4) como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor w = a cdot u + b cdot v como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar números e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever isso de forma mais detalhada usando as componentes dos vetores:
(14, -22, 4) = a cdot (4, -6, 4) + b cdot (-2, 4, 8)
Isso dá três equações, uma para cada componente:
14 = 4a - 2b -22 = -6a + 4b 4 = 4a + 8b

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 14 = 4a - 2b (1) -22 = -6a + 4b (2) e 28 = 8a - 4b (1a) . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação aqui.
Primeiro, pegamos as duas primeiras equações:
28 + (-22) = (8a - 4b) + (-6a + 4b)
Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de 6 = 2a :
a = 3
Agora, somamos a equação (1a) com a equação (2):
Então:

Passo 4

Agora que encontramos 14 = 4(3) - 2b , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar 14 = 12 - 2b :
14 - 12 = -2b
2 = -2b
b = -1

Passo 5

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
4 = 4a + 8b
4 = 4(3) + 8(-1)
4 = 12 - 8
4 = 4
Está certinho!

Resposta

O vetor w = 3 cdot u - 1 cdot v pode ser escrito como combinação linear de w = 3u - v e da seguinte forma:
Ou seja,

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