Construir curvas e superfícies que contêm pontos especificados é uma interessante aplicação da álgebra linear. Após uma breve introdução ao assunto, os termos técnicos e procedimentos da álgebra linear são apresentados e usados em um exemplo.
(2) Dados os pontos P1(x1, y1), P2(x2, y2) e P3(x3, y3). Determinar a equação da circunferência © que contém esses três pontos P1, P2 e P3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a equação de uma circunferência que passa por três pontos dados: , e . Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, que nos ajuda a lidar com sistemas de equações que surgem ao determinar a circunferência que passa por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano. Ela é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Aqui, são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 3

Como a circunferência passa pelos três pontos dados, podemos substituir cada ponto na equação da circunferência, obtendo assim três equações:
Para (x1 - a)^2 + (y1 - b)^2 = r^2 :
(x2 - a)^2 + (y2 - b)^2 = r^2
Para (x3 - a)^2 + (y3 - b)^2 = r^2 :
Para :

Passo 4

Agora, vamos expandir essas equações para facilitar a resolução:
x1^2 - 2x1a + a^2 + y1^2 - 2y1b + b^2 = r^2
x2^2 - 2x2a + a^2 + y2^2 - 2y2b + b^2 = r^2
x3^2 - 2x3a + a^2 + y3^2 - 2y3b + b^2 = r^2
Perceba que aparece em todas as equações. Para simplificar, vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira, eliminando o termo .

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x2^2 - x1^2) - 2(x2 - x1)a - 2(y2 - y1)b = 0
E subtraindo a primeira da terceira:
(x3^2 - x1^2) - 2(x3 - x1)a - 2(y3 - y1)b = 0
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( -2(x2 - x1)a - 2(y2 - y1)b = -(x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2) -2(x3 - x1)a - 2(y3 - y1)b = -(x3^2 - x1^2 + y3^2 - y1^2) e ):
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.

Resposta

Após resolver o sistema, encontramos os valores de (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 , e . Assim, a equação da circunferência que passa pelos pontos , e é:
Onde , e são determinados a partir das coordenadas dos pontos dados.

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