Construir curvas e superfícies que contêm pontos especificados é uma interessante aplicação da álgebra linear. Após uma breve introdução ao assunto, os termos técnicos e procedimentos da álgebra linear são apresentados e usados em um exemplo.
(2) Dados os pontos
e
. Determinar a equação da circunferência © que contém esses três pontos
e
.
(2) Dados os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a equação de uma circunferência que passa por três pontos dados:
,
e
. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, que nos ajuda a lidar com sistemas de equações que surgem ao determinar a circunferência que passa por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano. Ela é dada por:
Aqui,
são as coordenadas do centro da circunferência e
é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 3
Como a circunferência passa pelos três pontos dados, podemos substituir cada ponto na equação da circunferência, obtendo assim três equações:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos expandir essas equações para facilitar a resolução:
Perceba que
aparece em todas as equações. Para simplificar, vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira, eliminando o termo
.
Passo 5
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E subtraindo a primeira da terceira:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.
Resposta
Após resolver o sistema, encontramos os valores de
,
e
. Assim, a equação da circunferência que passa pelos pontos
,
e
é:
Onde
,
e
são determinados a partir das coordenadas dos pontos dados.