Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar um número inteiro que satisfaça três congruências diferentes:
Isso entra no campo da Teoria dos Congruentes, mais especificamente, usamos o Teorema Chinês do Resto para resolver sistemas de congruências com módulos que são coprimos entre si. Vamos precisar manipular essas congruências passo a passo para encontrar o valor de .
Passo 2
Vamos começar resolvendo as duas primeiras congruências:
Primeiro, expressamos em termos de uma das congruências. A primeira nos diz que deixa resto 1 ao ser dividido por 10, então podemos escrever:
é
Agora, substituímos isso na segunda congruência:
Simplificando:
Como , temos:
Então, , onde é um inteiro. Substituindo de volta em :
Passo 3
Agora, vamos incorporar a terceira congruência:
Substituindo nela:
Simplificando os termos:
Então:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Passo 4
Para resolver , precisamos encontrar o inverso de 6 módulo 13. O inverso de 6 é o número que multiplicado por 6 dá 1 módulo 13. Testando:
Então, multiplicamos ambos os lados da congruência por 11: