Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar um número inteiro x equiv 1 (mod 10) x equiv 4 (mod 11) x equiv 6 (mod 13) que satisfaça três congruências diferentes:
Isso entra no campo da Teoria dos Congruentes, mais especificamente, usamos o Teorema Chinês do Resto para resolver sistemas de congruências com módulos que são coprimos entre si. Vamos precisar manipular essas congruências passo a passo para encontrar o valor de .
Passo 2
Vamos começar resolvendo as duas primeiras congruências:
x equiv 1 (mod 10) x equiv 4 (mod 11)
Primeiro, expressamos x = 10a + 1 onde a é um inteiro em termos de uma das congruências. A primeira nos diz que 10a + 1 equiv 4 (mod 11) deixa resto 1 ao ser dividido por 10, então podemos escrever:
10a equiv 3 (mod 11) é
Agora, substituímos isso na segunda congruência:
-a equiv 3 (mod 11) implies a equiv -3 (mod 11) implies a equiv 8 (mod 11)
Simplificando:
x = 10(11b + 8) + 1 = 110b + 81
Como , temos:
Então, , onde é um inteiro. Substituindo de volta em :
Passo 3
Agora, vamos incorporar a terceira congruência:
x equiv 6 (mod 13)
Substituindo 110b + 81 equiv 6 (mod 13) nela:
110 equiv 6 (mod 13) e 81 equiv 3 (mod 13)
Simplificando os termos:
6b + 3 equiv 6 (mod 13)
Então:
6b equiv 3 (mod 13)
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Passo 4
Para resolver 6 times 11 = 66 equiv 1 (mod 13) , precisamos encontrar o inverso de 6 módulo 13. O inverso de 6 é o número que multiplicado por 6 dá 1 módulo 13. Testando:
b equiv 3 times 11 (mod 13) implies b equiv 33 (mod 13) implies b equiv 7 (mod 13)
Então, multiplicamos ambos os lados da congruência por 11:
Portanto, , onde é um inteiro.
Passo 5
Substituindo x = 110(13c + 7) + 81 = 1430c + 770 + 81 = 1430c + 851 na expressão de x equiv 851 (mod 1430) :