c) Encontre um inteiro tal que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar um número inteiro que satisfaça três congruências diferentes:
Isso entra no campo da Teoria dos Congruentes, mais especificamente, usamos o Teorema Chinês do Resto para resolver sistemas de congruências com módulos que são coprimos entre si. Vamos precisar manipular essas congruências passo a passo para encontrar o valor de .

Passo 2

Vamos começar resolvendo as duas primeiras congruências:
Primeiro, expressamos em termos de uma das congruências. A primeira nos diz que deixa resto 1 ao ser dividido por 10, então podemos escrever:
é
Agora, substituímos isso na segunda congruência:
Simplificando:
Como , temos:
Então, , onde é um inteiro. Substituindo de volta em :

Passo 3

Agora, vamos incorporar a terceira congruência:
Substituindo nela:
Simplificando os termos:
Então:
Subtraindo 3 de ambos os lados:

Passo 4

Para resolver , precisamos encontrar o inverso de 6 módulo 13. O inverso de 6 é o número que multiplicado por 6 dá 1 módulo 13. Testando:
Então, multiplicamos ambos os lados da congruência por 11:
Portanto, , onde é um inteiro.

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Isso significa que:

Resposta

Um inteiro que satisfaz todas as congruências é .

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