Seja
o espaço solução do sistema linear
Determine uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço
que é a solução do sistema linear dado. Isso envolve álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e como determinar uma base para o conjunto das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que define
:
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções
que satisfazem essas duas equações.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Vamos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
e
, vamos substituir
na primeira equação para encontrar
:
Passo 5
Então, temos:
Isso significa que
e
dependem de
e
, que são variáveis livres. Podemos escolher
e
como parâmetros livres. Vamos chamar
e
, mas para evitar confusão com a variável
já usada, vamos usar
e
.
Passo 6
Substituindo:
Podemos escrever o vetor solução como:
Passo 7
Agora, fatoramos as variáveis
e
:
Isso mostra que qualquer solução pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 8
Portanto, uma base para o espaço
é formada por esses dois vetores, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço solução.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e
. Ou seja,
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Seja
o espaço solução do sistema linear
Determine uma base ortonormal do
.
Construir curvas e superfícies que contêm pontos especificados é uma interessante aplicação da álgebra linear. Após uma breve introdução ao assunto, os termos técnicos e procedimentos da álgebra linear são apresentados e usados em um exemplo.
(2) Dados os pontos e
. Determinar a equação da circunferência © que contém esses três pontos
e
.
(2) Dados os pontos
Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.4 Determinar todos os valores de tais que o polinômio
verifique as condições
e
.
4.4 Determinar todos os valores de
Efetuar o balanceamento das equações químicas abaixo indicadas.