Seja
o espaço solução do sistema linear
Determine uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço
que é a solução do sistema linear dado. Isso envolve álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e como determinar uma base para o conjunto das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que define
:
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções
que satisfazem essas duas equações.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Vamos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
e
, vamos substituir
na primeira equação para encontrar
:
Passo 5
Então, temos:
Isso significa que
e
dependem de
e
, que são variáveis livres. Podemos escolher
e
como parâmetros livres. Vamos chamar
e
, mas para evitar confusão com a variável
já usada, vamos usar
e
.
Passo 6
Substituindo:
Podemos escrever o vetor solução como:
Passo 7
Agora, fatoramos as variáveis
e
:
Isso mostra que qualquer solução pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 8
Portanto, uma base para o espaço
é formada por esses dois vetores, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço solução.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e
. Ou seja,