Seja W subset R^4 o espaço solução do sistema linear
l x+y+z+t=0 x-y-z+2 t=0
Determine uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço que é a solução do sistema linear dado. Isso envolve álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e como determinar uma base para o conjunto das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que define x + y + z + t = 0 x - y - z + 2t = 0 :
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem essas duas equações.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Vamos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (x + y + z + t) - (x - y - z + 2t) = 0 - 0 2y + 2z - t = 0 :
2y + 2z = t Rightarrow t = 2y + 2z
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos x + y + z + (2y + 2z) = 0 x + y + z + 2y + 2z = 0 x + 3y + 3z = 0 x = -3y - 3z em termos de e , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Então, temos:
x = -3y - 3z t = 2y + 2z
Isso significa que e dependem de e , que são variáveis livres. Podemos escolher e como parâmetros livres. Vamos chamar e , mas para evitar confusão com a variável já usada, vamos usar e .

Passo 6

Substituindo:
x = -3s - 3r y = s z = r t = 2s + 2r
Podemos escrever o vetor solução como:
(x, y, z, t) = (-3s - 3r, s, r, 2s + 2r)

Passo 7

Agora, fatoramos as variáveis (x, y, z, t) = s(-3, 1, 0, 2) + r(-3, 0, 1, 2) e :
Isso mostra que qualquer solução pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 8

Portanto, uma base para o espaço é formada por esses dois vetores, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço solução.

Resposta

Uma base para , (-3, 1, 0, 2), (-3, 0, 1, 2) , é formada pelos vetores e . Ou seja,

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