Seja o espaço solução do sistema linear
Determine uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para o espaço que é a solução do sistema linear dado. Isso envolve álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e como determinar uma base para o conjunto das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que define :
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem essas duas equações.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras. Vamos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos em termos de e , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Então, temos:
Isso significa que e dependem de e , que são variáveis livres. Podemos escolher e como parâmetros livres. Vamos chamar e , mas para evitar confusão com a variável já usada, vamos usar e .

Passo 6

Substituindo:
Podemos escrever o vetor solução como:

Passo 7

Agora, fatoramos as variáveis e :
Isso mostra que qualquer solução pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 8

Portanto, uma base para o espaço é formada por esses dois vetores, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço solução.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e . Ou seja,

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