Sejam os vetores u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4) em R^3.
Para qual valor k o veotr (-3,14, k) é combinação linear de u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de tal que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e em . Estamos trabalhando com combinações lineares na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes que, quando aplicados aos vetores e , resultem no vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de a cdot (2, -3, 2) + b cdot (-1, 2, 4) = (-3, 14, k) e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes e de forma que:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso significa que cada posição dos vetores deve ser igual:
2a - b = -3 &(componente x) -3a + 2b = 14 &(componente y) 2a + 4b = k &(componente z)
Agora, temos um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema das duas primeiras equações para encontrar 2a - b = -3 Rightarrow b = 2a + 3 e -3a + 2(2a + 3) = 14 -3a + 4a + 6 = 14 a + 6 = 14 a = 8 . Primeiro, da primeira equação:
b = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Agora que temos , voltamos para encontrar :

Passo 5

Com os valores de 2a + 4b = k 2(8) + 4(19) = k 16 + 76 = k k = 92 e encontrados, podemos determinar usando a terceira equação:

Resposta

O valor de que faz com que seja uma combinação linear de e é 92.

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