Sejam os vetores e em .
Para qual valor o veotr é combinação linear de e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de tal que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e em . Estamos trabalhando com combinações lineares na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes que, quando aplicados aos vetores e , resultem no vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes e de forma que:
Passo 3
Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso significa que cada posição dos vetores deve ser igual:
Agora, temos um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema das duas primeiras equações para encontrar 2a - b = -3 Rightarrow b = 2a + 3 e -3a + 2(2a + 3) = 14 -3a + 4a + 6 = 14 a + 6 = 14 a = 8 . Primeiro, da primeira equação:
b = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Agora que temos , voltamos para encontrar :
Passo 5
Com os valores de 2a + 4b = k 2(8) + 4(19) = k 16 + 76 = k k = 92 e encontrados, podemos determinar usando a terceira equação:
Resposta
O valor de que faz com que seja uma combinação linear de e é 92.