Seja W subset R^4 o espaço solução do sistema linear
l x+y+z+t=0 x-y-z+2 t=0
Determine uma base ortonormal do W^perp.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma base ortonormal para o espaço ortogonal de x + y + z + t = 0 x - y - z + 2t = 0 ( ), onde é o conjunto de soluções do sistema linear dado:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço nulo, espaço linha e o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar vetores.

Passo 2

Vamos representar o sistema de equações como uma matriz aumentada sem a coluna dos termos constantes (já que são zeros):
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 & 2
Aqui, cada linha da matriz representa uma das equações do sistema.

Passo 3

O espaço W^perp = Espaço Linha de A é o espaço solução do sistema, ou seja, é o espaço nulo de . O espaço ortogonal é, por definição, o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em . Em álgebra linear, sabemos que é igual ao espaço linha de .
Então,
ç

Passo 4

Agora, queremos uma base ortonormal para v1 = 1 & 1 & 1 & 1 , v2 = 1 & -1 & -1 & 2 . Primeiro, vamos encontrar uma base para o espaço linha de . Observamos que as linhas de são:
Para garantir que essas duas linhas formem uma base, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Como nenhum múltiplo de resulta em , elas são independentes e formam uma base para .

Passo 5

Agora, vamos ortonormalizar essas vetores usando o processo de Gram-Schmidt e depois normalizar cada vetor para que tenham comprimento 1.
Primeiro, definimos:
u1 = v1 = 1 & 1 & 1 & 1
Em seguida, projetamos Proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 1(1) + (-1)(1) + (-1)(1) + 2(1)1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 ) 1 & 1 & 1 & 1 = ( 1 -1 -1 +24 ) 1 & 1 & 1 & 1 = 14 1 & 1 & 1 & 1 em u2 = v2 - Proju1 v2 = 1 & -1 & -1 & 2 - 14 1 & 1 & 1 & 1 = 34 & -54 & -54 & 74 :
|u1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 2
Então,
e1 = u1|u1| = 12 1 & 1 & 1 & 1
Agora, normalizamos |u2| = raiz(34)^2 + (-54)^2 + (-54)^2 + (74)^2 = raiz916 + 2516 + 2516 + 4916 = raiz10816 = raiz1084 = 6raiz34 = 3raiz32 e e2 = u2|u2| = 13raiz32 34 & -54 & -54 & 74 = 23raiz3 34 & -54 & -54 & 74 = 12raiz3 3 & -5 & -5 & 7 :

Resposta

Assim, uma base ortonormal para 12 1 & 1 & 1 & 1 , 12raiz3 3 & -5 & -5 & 7 é:

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