Seja
o espaço solução do sistema linear
Determine uma base ortonormal do
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma base ortonormal para o espaço ortogonal de
(
), onde
é o conjunto de soluções do sistema linear dado:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço nulo, espaço linha e o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar vetores.
Passo 2
Vamos representar o sistema de equações como uma matriz aumentada sem a coluna dos termos constantes (já que são zeros):
Aqui, cada linha da matriz
representa uma das equações do sistema.
Passo 3
O espaço
é o espaço solução do sistema, ou seja, é o espaço nulo de
. O espaço ortogonal
é, por definição, o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em
. Em álgebra linear, sabemos que
é igual ao espaço linha de
.
Então,
Passo 4
Agora, queremos uma base ortonormal para
. Primeiro, vamos encontrar uma base para o espaço linha de
. Observamos que as linhas de
são:
Para garantir que essas duas linhas formem uma base, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Como nenhum múltiplo de
resulta em
, elas são independentes e formam uma base para
.
Passo 5
Agora, vamos ortonormalizar essas vetores usando o processo de Gram-Schmidt e depois normalizar cada vetor para que tenham comprimento 1.
Primeiro, definimos:
Em seguida, projetamos
em
:
Então,
Agora, normalizamos
e
:
Resposta
Assim, uma base ortonormal para
é:
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Construir curvas e superfícies que contêm pontos especificados é uma interessante aplicação da álgebra linear. Após uma breve introdução ao assunto, os termos técnicos e procedimentos da álgebra linear são apresentados e usados em um exemplo.
(2) Dados os pontos e
. Determinar a equação da circunferência © que contém esses três pontos
e
.
(2) Dados os pontos
Sejam os vetores
e
em
.
Para qual valor o veotr
é combinação linear de
e
?
Para qual valor
Seja
o espaço solução do sistema linear
Determine uma base de
.
Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.4 Determinar todos os valores de tais que o polinômio
verifique as condições
e
.
4.4 Determinar todos os valores de