Construir o esboço gráfico das funções:

Passo 1

Beleza! Vamos construir o esboço gráfico da função . Isso está relacionado à matéria de funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades básicas dos logaritmos e como elas influenciam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo só está definido para números positivos, então .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos. Para achar o intercepto com o eixo , resolvemos . Isso significa . Então, o ponto é .
Para o intercepto com o eixo , tentamos calcular . Mas, como o logaritmo não está definido para , não temos intercepto com o eixo .

Passo 4

A função tem uma assíntota vertical no eixo , ou seja, quando se aproxima de 0, vai para menos infinito. Isso significa que a linha é uma assíntota.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função. Como a base do logaritmo é 3, que é maior que 1, a função é crescente. Ou seja, conforme aumenta, também aumenta.

Passo 6

Vamos escolher alguns valores de para plotar pontos adicionais:
  • Se , então . Ponto: .
  • Se , então . Ponto: .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Começamos com a assíntota em , traçamos os pontos , e , e desenhamos uma curva que passa por esses pontos, se aproximando da assíntota conforme se aproxima de 0 e aumentando sem limites conforme cresce.

Resposta

O esboço gráfico da função é uma curva crescente que passa pelos pontos , e , com uma assíntota vertical em .

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Use a definição de limites para mostrar que: .