Construir o esboço gráfico das funções: g(x) = log x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos construir o esboço gráfico da função . Isso envolve conhecimentos sobre funções logarítmicas, como seu domínio, imagem, pontos importantes, assíntotas e comportamento geral do gráfico. Para resolver, vamos passo a passo analisar essas características.

Passo 2

Vamos começar identificando o domínio da função . O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como o logaritmo só está definido para números positivos, temos:
Isso significa que o gráfico só existirá para valores de maiores que zero.

Passo 3

O próximo passo é determinar a imagem da função, ou seja, os valores de . O logaritmo pode assumir qualquer valor real, então a imagem é:
Portanto, o gráfico se estende infinitamente para cima e para baixo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar pontos específicos no gráfico. Sabemos que:
Então, o ponto está no gráfico. Outro ponto útil é (onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.718). Assim, o ponto também está no gráfico.

Passo 5

Vamos identificar a assíntota do gráfico. A função tem uma assíntota vertical em , o que significa que o gráfico se aproxima dessa linha mas nunca a toca. Em outras palavras, conforme se aproxima de zero pela direita, tende a menos infinito:

Passo 6

Por fim, vamos observar o comportamento geral da função:
  • Para , é negativo e aumenta à medida que se aproxima de 1.
  • Para , .
  • Para , é positivo e cresce lentamente à medida que aumenta.

Resposta

O esboço gráfico da função apresenta uma curva que passa pelo ponto , tende à esquerda para uma assíntota vertical em , e cresce lentamente para a direita conforme aumenta. A função está definida para todos os e cobre todos os valores reais para .

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