Qual a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um desenvolvimento logarítmico: . Nosso objetivo é descobrir qual é a expressão original que, ao aplicar o logaritmo na base 2, resulta nessa expressão. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos logaritmos, como a soma, a subtração e o uso de coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar o número 1 na expressão. Sabemos que pode ser escrito como , já que . Então, substituindo isso, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade que diz que a soma de logaritmos na mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Ou seja, . Aplicando isso aos dois primeiros termos:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Em seguida, vamos lidar com a subtração de logaritmos. A propriedade aqui é que . Aplicando isso para os próximos termos:
Simplificando , então temos:

Passo 5

Por fim, vamos tratar o termo com o coeficiente 2. Usamos a propriedade que diz que . Aplicando isso:
Agora, novamente aplicamos a propriedade da subtração de logaritmos:

Resposta

A expressão original é .

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