Construir o esboço gráfico das funções: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir o esboço gráfico da função . Esse exercício está na área de Funções Logarítmicas, e para resolver, vamos precisar entender como os logaritmos funcionam, especialmente com uma base menor que 1, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base do logaritmo, que é . Sabemos que, quando a base de um logaritmo é menor que 1, a função é decrescente. Isso significa que, conforme aumenta, o valor de diminui.

Passo 3

Vamos determinar o domínio da função. Como o logaritmo só é definido para números positivos, temos que:
Ou seja, o domínio é todos os números positivos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo . Para isso, colocamos :
Lembrando que qualquer logaritmo de 1 é igual a 0, então:
Portanto, a função cruza o eixo no ponto .

Passo 5

Vamos identificar a assíntota vertical. Para funções logarítmicas, a assíntota vertical é sempre a linha . Isso significa que a função se aproxima de , mas nunca toca ou cruza essa linha.

Passo 6

Vamos calcular mais alguns pontos para ter certeza de como a curva vai se comportar. Por exemplo, para :
E para :
Esses pontos nos ajudam a traçar a curva decrescente da função.

Resposta

O esboço gráfico da função é uma curva decrescente que passa pelo ponto , tem uma assíntota vertical em e passa pelos pontos e . A curva se aproxima da linha sem nunca tocá-la e desce para a direita conforme aumenta.

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Determine o domínio das funções: .
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas: .