Construir o esboço gráfico das funções:

Passo 1

Beleza, a gente vai construir o esboço gráfico da função . Isso é basicamente desenhar como essa função se comporta no plano cartesiano. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções logarítmicas, como domínio, intervalos, assíntotas, interceptos e o comportamento da função em diferentes regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função . O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como o logaritmo só aceita números positivos, temos:
Então, o domínio é todos os números reais maiores que zero.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o intercepto com o eixo y. Para isso, substituímos na função, porque :
Então, a função passa pelo ponto .

Passo 4

Vamos identificar também a assíntota vertical da função. O logaritmo não está definido para e tende a menos infinito quando se aproxima de zero. Portanto, a linha é uma assíntota vertical da função.

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de . Conforme cresce, aumenta, mas de forma bastante lenta. Isso significa que a função cresce indefinidamente, porém sem limites superiores.

Passo 6

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  • Desenhe os eixos cartesianos.
  • Trace a assíntota vertical na linha .
  • Marque o ponto no gráfico.
  • Desenhe a curva que passa por esse ponto, se aproximando da assíntota vertical à medida que se aproxima de zero, e subindo suavemente para a direita conforme aumenta.

Resposta

O esboço gráfico da função é uma curva que passa pelo ponto , com uma assíntota vertical em . A função está definida para e cresce lentamente à medida que aumenta. O gráfico se aproxima cada vez mais da linha sem nunca tocá-la.

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