Construir o esboço gráfico das funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construir o esboço gráfico da função . Isso envolve entender funções logarítmicas, especialmente com uma base menor que 1. Para isso, vamos precisar saber como os logaritmos funcionam e como eles se comportam quando a base é entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função logarítmica. A função geral é , onde é a base do logaritmo. O logaritmo responde à pergunta: “A potência à qual devo elevar para obter ?”

Passo 3

No nosso caso, a base é . Sabemos que quando a base de um logaritmo está entre 0 e 1, a função é decrescente. Isso significa que conforme aumenta, diminui. Isso é diferente das funções logarítmicas com base maior que 1, que são crescentes.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos chave para desenhar o gráfico:
  1. Dominio: O logaritmo só é definido para .
  2. Interseção com o eixo y: Quando , . Então, o ponto (1, 0) está no gráfico.
  3. Assíntota vertical: Existe uma assíntota vertical no eixo , pois a função tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo.
  4. Comportamento: Como a função é decrescente, à medida que aumenta, diminui.

Passo 5

Vamos calcular mais alguns pontos para ter certeza do formato do gráfico:
  • Para :
  • Para :
Então, temos os pontos ( , 1) e (10, -1).

Passo 6

Com esses pontos e o conhecimento do comportamento da função, podemos esboçar o gráfico. Lembrando que a função passa por (1,0), está aumentando quando diminui até , e diminuindo depois que passa de 1.

Resposta

O esboço gráfico da função apresenta uma curva decrescente que passa pelos pontos ( , 1), (1, 0) e (10, -1), com uma assíntota vertical no eixo .

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Construir o esboço gráfico das funções:
Obtenha o limite. .
Obtenha o limite. ;