Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma identidade trigonométrica, que é basicamente mostrar que duas expressões trigonométricas são iguais. A identidade dada é:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas trigonométricas básicas, como as fórmulas de ângulo duplicado e a definição de cotangente. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente de um ângulo é definida como o cosseno de dividido pelo seno de :
Então, podemos reescrever a expressão original substituindo :

Passo 3

Agora, observe que é uma fórmula de ângulo duplicado. A fórmula para é:
Vamos substituir por na expressão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão. O no numerador e no denominador se cancelam:
Então, a expressão simplificada fica:

Passo 5

A próxima etapa é lembrar que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com :
Vamos resolver essa equação para :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Determine o domínio das funções: .
Construir o esboço gráfico das funções: .
Use a definição de limites para mostrar que: а) ;
Obtenha o limite. ;