Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma identidade trigonométrica, que é basicamente mostrar que duas expressões trigonométricas são iguais. A identidade dada é:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas trigonométricas básicas, como as fórmulas de ângulo duplicado e a definição de cotangente. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a cotangente de um ângulo
é definida como o cosseno de
dividido pelo seno de
:
Então, podemos reescrever a expressão original substituindo
:
Passo 3
Agora, observe que
é uma fórmula de ângulo duplicado. A fórmula para
é:
Vamos substituir
por
na expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão. O
no numerador e no denominador se cancelam:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 5
A próxima etapa é lembrar que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Vamos resolver essa equação para
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Determine o domínio das funções:
.
Construir o esboço gráfico das funções:
.
Use a definição de limites para mostrar que: а)
;
Obtenha o limite.
;