Construir o prisma delimitado pelos planos: e . Determinar o seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construirmos um prisma definido por alguns planos e, depois, determinarmos seu volume. A matéria envolvida aqui é Geometria Espacial, especificamente o cálculo de volumes de prismas. Para resolver, vamos precisar entender como esses planos se intersectam e definir os limites de integração para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os planos que delimitam o prisma:
  • ou seja,
Esses planos vão nos ajudar a definir a forma e os limites do prisma no espaço tridimensional.

Passo 3

Vamos analisar as interseções dos planos e . Substituindo por na segunda equação:
Então, também.

Passo 4

Agora, sabemos que no plano , quando , , e quando , . Isso forma uma linha reta que vai de a no plano .

Passo 5

No plano , a região delimitada pelos planos , e forma um triângulo. Vamos calcular a área dessa base triangular para depois multiplicar pela altura do prisma.

Passo 6

A área da base triangular pode ser calculada usando a fórmula da área de um triângulo:
Á
Aqui, a base e a altura são iguais a 4 (de a e de a ).
Á

Passo 7

Como o prisma é delimitado pelos planos e , a altura do prisma é 5 unidades. Para encontrar o volume, multiplicamos a área da base pela altura:
Á

Resposta

O volume do prisma é de 40 unidades cúbicas.

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