Construir o prisma delimitado pelos planos:
e
. Determinar o seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construirmos um prisma definido por alguns planos e, depois, determinarmos seu volume. A matéria envolvida aqui é Geometria Espacial, especificamente o cálculo de volumes de prismas. Para resolver, vamos precisar entender como esses planos se intersectam e definir os limites de integração para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os planos que delimitam o prisma:
-
ou seja, -
-
-
-
Esses planos vão nos ajudar a definir a forma e os limites do prisma no espaço tridimensional.
Passo 3
Vamos analisar as interseções dos planos
e
. Substituindo
por
na segunda equação:
Então,
também.
Passo 4
Agora, sabemos que no plano
, quando
,
, e quando
,
. Isso forma uma linha reta que vai de
a
no plano
.
Passo 5
No plano
, a região delimitada pelos planos
,
e
forma um triângulo. Vamos calcular a área dessa base triangular para depois multiplicar pela altura do prisma.
Passo 6
A área da base triangular pode ser calculada usando a fórmula da área de um triângulo:
Aqui, a base e a altura são iguais a 4 (de
a
e de
a
).
Passo 7
Como o prisma é delimitado pelos planos
e
, a altura do prisma é 5 unidades. Para encontrar o volume, multiplicamos a área da base pela altura:
Resposta
O volume do prisma é de 40 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Achar a equação do plano
que passa pela origem do sistema de coordenadas e tem como vector normal
.
De uma festa de formatura participaram 200 alunos, sendo que os homens contribuíram com
e as mulheres, com
. O total arrecadado foi de
. Quantos eram os homens e quantas as mulheres?
A normal a um plano tem de comprimento 5 e dois dos seus ângulos directores são
e
. Determinar a equação do plano.
Determine as equações paramétricas da recta
que passa pelo ponto
é ortogonal às rectas:
e