Determine as equações paramétricas da recta r que passa pelo ponto A(3,4,-1) é ortogonal às rectas: r1:(x, y, z)=(0,0,1)+t (2,3,-4) e r2:lx=5 y=t z=1-t

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede. Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é ortogonal às retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e condições de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas. Para a reta r1: (x, y, z) = (0,0,1) + t cdot (2,3,-4) :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, para a reta r2: l x = 5 y = t z = 1 - t :
r2: (x, y, z) = (5,0,1) + t cdot (0,1,-1)
Podemos reescrever essa reta na forma paramétrica:
Assim, o vetor diretor de é .

Passo 4

Queremos que a reta seja ortogonal a ambas as retas e . Isso significa que o vetor diretor de deve ser perpendicular aos vetores diretores e .

Passo 5

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, temos as seguintes equações:
v cdot v1 = 0
v cdot v2 = 0

Passo 6

Vamos supor que o vetor diretor de 2a + 3b - 4c = 0 (1) seja 0a + 1b - 1c = 0 (2) . Substituindo nas equações de ortogonalidade:

Passo 7

Da segunda equação (2):
b - c = 0 Rightarrow b = c

Passo 8

Substituindo 2a + 3b - 4b = 0 Rightarrow 2a - b = 0 Rightarrow b = 2a na primeira equação (1):
Como , então .

Passo 9

Portanto, o vetor diretor v = (a, 2a, 2a) pode ser expresso em termos de v = (1, 2, 2) :
Podemos simplificar escolhendo :

Passo 10

Com o ponto x = 3 + t y = 4 + 2t z = -1 + 2t e o vetor diretor , as equações paramétricas da reta são:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 3 + t y = 4 + 2t z = -1 + 2t são:

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