Determine as equações paramétricas da recta que passa pelo ponto é ortogonal às rectas: e
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede. Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é ortogonal às retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e condições de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas. Para a reta r1: (x, y, z) = (0,0,1) + t cdot (2,3,-4) :
O vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, para a reta r2: l x = 5 y = t z = 1 - t :
r2: (x, y, z) = (5,0,1) + t cdot (0,1,-1)
Podemos reescrever essa reta na forma paramétrica:
Assim, o vetor diretor de é .
Passo 4
Queremos que a reta seja ortogonal a ambas as retas e . Isso significa que o vetor diretor de deve ser perpendicular aos vetores diretores e .
Passo 5
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, temos as seguintes equações:
v cdot v1 = 0
v cdot v2 = 0
Passo 6
Vamos supor que o vetor diretor de 2a + 3b - 4c = 0 (1) seja 0a + 1b - 1c = 0 (2) . Substituindo nas equações de ortogonalidade:
Passo 7
Da segunda equação (2):
b - c = 0 Rightarrow b = c
Passo 8
Substituindo 2a + 3b - 4b = 0 Rightarrow 2a - b = 0 Rightarrow b = 2a na primeira equação (1):
Como , então .
Passo 9
Portanto, o vetor diretor v = (a, 2a, 2a) pode ser expresso em termos de v = (1, 2, 2) :
Podemos simplificar escolhendo :
Passo 10
Com o ponto x = 3 + t y = 4 + 2t z = -1 + 2t e o vetor diretor , as equações paramétricas da reta são:
Resposta
As equações paramétricas da reta x = 3 + t y = 4 + 2t z = -1 + 2t são: