A normal a um plano tem de comprimento 5 e dois dos seus ângulos directores são alpha=45^circ e beta=60^circ. Determinar a equação do plano.

Passo 1

Então, a gente tem um plano no espaço tridimensional e sabe que a normal desse plano (uma linha que forma um ângulo reto com o plano) tem comprimento 5. Além disso, dois dos ângulos direcionais dessa normal são 45° e 60°. Nosso objetivo é encontrar a equação desse plano. Para isso, vamos lembrar como relacionar a normal de um plano com sua equação usando trigonometria e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos direcionais. Num espaço 3D, qualquer vetor pode ser descrito pelos ângulos que ele forma com os eixos coordenados. Aqui, temos dois desses ângulos: α = 45° (com o eixo x) e β = 60° (com o eixo y).

Passo 3

Sabemos que os coeficientes da normal do plano podem ser encontrados usando os cossenos desses ângulos. Se a normal é representada por um vetor n = (A, B, C), então:
cos(alpha) = A|n|, cos(beta) = B|n|, cos(gamma) = C|n|
Aqui, sabemos que |n| = 5, α = 45° e β = 60°. Vamos calcular A e B primeiro.

Passo 4

Calculando A:
A = |n| cdot cos(alpha) = 5 cdot cos(45°) = 5 cdot raiz22 = 5raiz22
Calculando B:
B = |n| cdot cos(beta) = 5 cdot cos(60°) = 5 cdot 12 = 52

Passo 5

Agora, precisamos encontrar C. Lembrando que a soma dos quadrados dos cossenos dos ângulos direcionais é 1:
cos^2(alpha) + cos^2(beta) + cos^2(gamma) = 1
Substituindo os valores:
(raiz22)^2 + (12)^2 + cos^2(gamma) = 1
24 + 14 + cos^2(gamma) = 1
34 + cos^2(gamma) = 1
cos^2(gamma) = 14 implies cos(gamma) = 12
Então:
C = |n| cdot cos(gamma) = 5 cdot 12 = 52

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C da normal n = (5raiz22, 52, 52), podemos usar a equação geral do plano:
A x + B y + C z + D = 0
Para determinar D, precisamos de um ponto que pertence ao plano. Como não foi fornecido nenhum ponto específico, podemos assumir que o plano passa pela origem (0,0,0) para simplificar.
Substituindo na equação:
5raiz22 cdot 0 + 52 cdot 0 + 52 cdot 0 + D = 0 implies D = 0

Resposta

A equação do plano é:
5raiz22 , x + 52 , y + 52 , z = 0

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