A normal a um plano tem de comprimento 5 e dois dos seus ângulos directores são e . Determinar a equação do plano.
Passo 1
Então, a gente tem um plano no espaço tridimensional e sabe que a normal desse plano (uma linha que forma um ângulo reto com o plano) tem comprimento 5. Além disso, dois dos ângulos direcionais dessa normal são 45° e 60°. Nosso objetivo é encontrar a equação desse plano. Para isso, vamos lembrar como relacionar a normal de um plano com sua equação usando trigonometria e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são ângulos direcionais. Num espaço 3D, qualquer vetor pode ser descrito pelos ângulos que ele forma com os eixos coordenados. Aqui, temos dois desses ângulos: α = 45° (com o eixo x) e β = 60° (com o eixo y).
Passo 3
Sabemos que os coeficientes da normal do plano podem ser encontrados usando os cossenos desses ângulos. Se a normal é representada por um vetor , então:
Aqui, sabemos que , α = 45° e β = 60°. Vamos calcular A e B primeiro.
Passo 4
Calculando A:
Calculando B:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar C. Lembrando que a soma dos quadrados dos cossenos dos ângulos direcionais é 1:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores de A, B e C da normal , podemos usar a equação geral do plano:
Para determinar D, precisamos de um ponto que pertence ao plano. Como não foi fornecido nenhum ponto específico, podemos assumir que o plano passa pela origem (0,0,0) para simplificar.