A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
onde
e
estão dados em metros e
em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é
.
Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda?
Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda?
Passo 1
Resumo da questão: Temos uma função de onda em uma corda tensa dada por $ y(x, t) = 0{,}350 \sin\left(3\pi x - 10\pi t - \frac{\pi}{4}\right) $, onde $ x $ e $ y $ estão em metros e $ t $ em segundos. A densidade de massa linear da corda é $ 75{,}0 , g/m $. Precisamos encontrar a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda.
Conteúdo: Ondas mecânicas em cordas, energia em ondas, e fórmulas para calcular a potência média transmitida por uma onda.
Vamos precisar identificar a amplitude, a frequência angular, o número de onda, calcular a velocidade da onda e, então, usar a fórmula da potência média.
Passo 2
Identificando os parâmetros da função de onda:
- Amplitude ($ A $): É a altura máxima da onda. Aqui, $ A = 0{,}350 , m $.
- Número de onda ($ k $): Relaciona-se com o comprimento de onda. Você pode identificar $ k = 3\pi , rad/m $.
- Frequência angular ($ \omega $): Relaciona-se com a rapidez da oscilação. Aqui, $ \omega = 10\pi , rad/s $.
Passo 3
Calculando a velocidade da onda ($ v $):
A velocidade da onda pode ser calculada usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 4
Convertendo a densidade de massa linear ($ \mu $) para kg/m:
Dado que $ \mu = 75{,}0 , g/m $, convertendo para kg/m:
Passo 5
Usando a fórmula para a potência média ($ P $) transmitida por uma onda em uma corda:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando passo a passo:
- Calculando $ \omega^2 $:
- Calculando $ A^2 $:
- Substituindo de volta:
Passo 8
Multiplicando os valores:
- $ 0{,}5 \times 0{,}075 = 0{,}0375 $
- $ 0{,}0375 \times 100\pi^2 = 3{,}75\pi^2 $
- $ 3{,}75\pi^2 \times 0{,}1225 = 0{,}459375\pi^2 $
- $ 0{,}459375\pi^2 \times \frac{10}{3} = 1{,}53125\pi^2 $
Passo 9
Calculando o valor numérico utilizando $ \pi^2 \approx 9{,}8696 $:
Resposta
A taxa média de transmissão de energia ao longo da corda é aproximadamente $ 15{,}1 , W $.