A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
y(x, t)=0,350 sen(3 pi x-10 pi t-pi4)
onde x e y estão dados em metros e t em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é 75,0 g / m.
Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda?

Passo 1

Resumo da questão: Temos uma função de onda em uma corda tensa dada por $ y(x, t) = 0{,}350 \sin\left(3\pi x - 10\pi t - \frac{\pi}{4}\right) $, onde $ x $ e $ y $ estão em metros e $ t $ em segundos. A densidade de massa linear da corda é $ 75{,}0 , g/m $. Precisamos encontrar a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda.
Conteúdo: Ondas mecânicas em cordas, energia em ondas, e fórmulas para calcular a potência média transmitida por uma onda.
Vamos precisar identificar a amplitude, a frequência angular, o número de onda, calcular a velocidade da onda e, então, usar a fórmula da potência média.

Passo 2

Identificando os parâmetros da função de onda:
  • Amplitude ($ A $): É a altura máxima da onda. Aqui, $ A = 0{,}350 , m $.
  • Número de onda ($ k $): Relaciona-se com o comprimento de onda. Você pode identificar $ k = 3\pi , rad/m $.
  • Frequência angular ($ \omega $): Relaciona-se com a rapidez da oscilação. Aqui, $ \omega = 10\pi , rad/s $.

Passo 3

Calculando a velocidade da onda ($ v $):
A velocidade da onda pode ser calculada usando a relação:
v
Substituindo os valores:
v = omegak

Passo 4

Convertendo a densidade de massa linear ($ \mu $) para kg/m:
Dado que $ \mu = 75{,}0 , g/m $, convertendo para kg/m:
mu

Passo 5

Usando a fórmula para a potência média ($ P $) transmitida por uma onda em uma corda:
P

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
P = 12 times 0,075 times (10pi)^2 times (0,350)^2 times 103

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. Calculando $ \omega^2 $:
omega^2
  1. Calculando $ A^2 $:
(10pi)^2 = 100pi^2
  1. Substituindo de volta:
A^2

Passo 8

Multiplicando os valores:
  1. $ 0{,}5 \times 0{,}075 = 0{,}0375 $
  2. $ 0{,}0375 \times 100\pi^2 = 3{,}75\pi^2 $
  3. $ 3{,}75\pi^2 \times 0{,}1225 = 0{,}459375\pi^2 $
  4. $ 0{,}459375\pi^2 \times \frac{10}{3} = 1{,}53125\pi^2 $

Passo 9

Calculando o valor numérico utilizando $ \pi^2 \approx 9{,}8696 $:
pi^2 approx 9,8696

Resposta

A taxa média de transmissão de energia ao longo da corda é aproximadamente $ 15{,}1 , W $.

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