Obtenha a equação da trajetória: r(theta) (ou v(theta), para a nova variável v=1r. Qual é a equação para ell=0 e quais são as trajetórias neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da trajetória ou , onde . Além disso, precisamos ver qual é a equação quando o momento angular e como ficam as trajetórias nesse caso. Isso tudo está relacionado ao estudo do movimento em coordenadas polares, especialmente quando lidamos com forças centrais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de física mecânica clássica e um pouquinho de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em movimentos com forças centrais, a trajetória do objeto pode ser descrita pela equação diferencial que relaciona d^2 udtheta^2 + u = -mell^2 dVdu e . A equação geral para a trajetória é dada por:
onde , é a massa, é o momento angular, e é o potencial da força central.

Passo 3

Agora, vamos simplificar as coisas considerando que estamos trabalhando com a variável d^2 vdtheta^2 + v = -mell^2 dVdv . Substituindo por na equação anterior, temos:
Essa equação relaciona a segunda derivada de em relação a com o potencial da força central.

Passo 4

Agora, vamos analisar o caso especial quando . Quando o momento angular é zero, significa que não há movimento angular, ou seja, o objeto está caindo diretamente para o centro sem girar. Substituindo na equação, percebemos que o lado direito se torna infinito a menos que . Isso implica que o potencial deve ser constante, o que geralmente não é o caso para forças centrais típicas.

Passo 5

Com d^2 vdtheta^2 + v = 0 , a equação da trajetória simplifica para:
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples para em função de , mas como , isso indica que tende ao infinito ou há uma trajetória radial sem angulação.

Resposta

Para d^2 vdtheta^2 + v = 0 , a equação da trajetória fica:
Nessa situação, como não há momento angular, as trajetórias são diretamente radiais, ou seja, o objeto se move em linha reta em direção ou afastando-se do centro.

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