A v.a. X: Contagem de falhas de suministro de certo fluxo essencial, em um processo industrial, segue um modelo de probabilidades de Poisson, com taxa de 2.5 falhas por trimestre.
[11] (iii) Determine o número de falhas a partir para o qual a sua ocorrência é no máximo provável (tem probabilidade não maior que 5%).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma variável aleatória que conta o número de falhas de suprimento em um processo industrial, seguindo uma distribuição de Poisson com taxa falhas por trimestre. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o número mínimo de falhas a partir do qual a probabilidade de ocorrer é no máximo 5%. Ou seja, queremos encontrar o menor valor de tal que . Para isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e cálculos de probabilidades acumuladas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A fórmula da probabilidade de exatamente eventos ocorrerem é:
Aqui, é a taxa média de ocorrência dos eventos, e é o fatorial de .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o menor que satisfaz . Para facilitar, podemos reescrever essa desigualdade usando a probabilidade acumulada:
Isso significa que queremos que a probabilidade de ser menor ou igual a seja pelo menos 95%:

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades acumuladas para diferentes valores de até encontrarmos o menor que atende à nossa condição.

Passo 5

Vamos calcular as probabilidades individuais e acumuladas usando :
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar :

Passo 6

Observamos que , que já é maior que 0.95. Isso significa que para :

Resposta

O número de falhas a partir do qual a probabilidade de ocorrência é no máximo 5% é .

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A v.a. X: Contagem de falhas de suministro de certo fluxo essencial, em um processo industrial, segue um modelo de probabilidades de Poisson, com taxa de 2.5 falhas por trimestre.
[11] (ii) Determine os números de falhas ao redor do número esperado, que concentram pelo menos de probabilidade;
A superfície de um fio metálico produzido industrialmente apresenta deformacoes. O controle da qualidade do processo de produção do fio monitora a v.a. X: Contagem de deformacoes aceitáveis tem Distribuição de Poisson com taxa de 2.0 dessas deformacoes para cada 20 metros lineares desse fio,
[10] (ii) O fabricante garante a troca de um rolo qualquer quando se verificarem mais que o dobro das deformações aceitáveis esperadas em um rolo de 40 mt . Calcule o percentual de rolos de 40 mt que deverão ser trocados.
[12] (De Montgomery & Runger). O volume em onças fluidas de bebida gaseificada em latas, preenchido por uma máquina automatizada, tem distribuição ).
(b) Calcule e represente graficamente os limites inferior e superior de especificação: LIE e LSE simétricos com relação à média e de de probabilidade ou
[13] (Modificado de Montgomery & Runger). A vida em horas de um semicondutor a laser, operando em potência constante, tem distribuição N(5000; .
(b) Calcule a probabilidade de que os três lasers de um certo dispositivo, que estção instalados em paralelo e operam nessa potência, estejam operando após 5500 horas.