A v.a. X: Contagem de falhas de suministro de certo fluxo essencial, em um processo industrial, segue um modelo de probabilidades de Poisson, com taxa de 2.5 falhas por trimestre.
[11] (iii) Determine o número de falhas a partir para o qual a sua ocorrência é no máximo
provável (tem probabilidade não maior que 5%).
[11] (iii) Determine o número de falhas a partir para o qual a sua ocorrência é no máximo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma variável aleatória
que conta o número de falhas de suprimento em um processo industrial, seguindo uma distribuição de Poisson com taxa
falhas por trimestre. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o número mínimo de falhas a partir do qual a probabilidade de ocorrer é no máximo 5%. Ou seja, queremos encontrar o menor valor de
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e cálculos de probabilidades acumuladas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A fórmula da probabilidade de exatamente
eventos ocorrerem é:
Aqui,
é a taxa média de ocorrência dos eventos, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o menor
que satisfaz
. Para facilitar, podemos reescrever essa desigualdade usando a probabilidade acumulada:
Isso significa que queremos que a probabilidade de
ser menor ou igual a
seja pelo menos 95%:
Passo 4
Agora, vamos calcular as probabilidades acumuladas
para diferentes valores de
até encontrarmos o menor
que atende à nossa condição.
Passo 5
Vamos calcular as probabilidades individuais e acumuladas usando
:
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar
:
Passo 6
Observamos que
, que já é maior que 0.95. Isso significa que para
:
Resposta
O número de falhas a partir do qual a probabilidade de ocorrência é no máximo 5% é
.