A v.a. X: Contagem de falhas de suministro de certo fluxo essencial, em um processo industrial, segue um modelo de probabilidades de Poisson, com taxa de 2.5 falhas por trimestre.
[11] (iii) Determine o número de falhas a partir para o qual a sua ocorrência é no máximo 5 % provável (tem probabilidade não maior que 5%).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma variável aleatória que conta o número de falhas de suprimento em um processo industrial, seguindo uma distribuição de Poisson com taxa falhas por trimestre. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o número mínimo de falhas a partir do qual a probabilidade de ocorrer é no máximo 5%. Ou seja, queremos encontrar o menor valor de tal que . Para isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e cálculos de probabilidades acumuladas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A fórmula da probabilidade de exatamente eventos ocorrerem é:
Aqui, é a taxa média de ocorrência dos eventos, e é o fatorial de .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o menor que satisfaz . Para facilitar, podemos reescrever essa desigualdade usando a probabilidade acumulada:
Isso significa que queremos que a probabilidade de ser menor ou igual a seja pelo menos 95%:

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades acumuladas para diferentes valores de até encontrarmos o menor que atende à nossa condição.

Passo 5

Vamos calcular as probabilidades individuais e acumuladas usando :
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar :

Passo 6

Observamos que , que já é maior que 0.95. Isso significa que para :

Resposta

O número de falhas a partir do qual a probabilidade de ocorrência é no máximo 5% é .

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