(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente
ao ano.)
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante,
, em função dos anos t, desde o acidente nuclear.
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante,
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema. Queremos descobrir qual a porcentagem de estrôncio-90 permanece após t anos desde um acidente nuclear, sabendo que ele decai de forma exponencial a uma taxa de 2,5% ao ano. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de decaimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é decaimento exponencial. Esse tipo de decaimento ocorre quando a quantidade de uma substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade que ainda resta. A fórmula geral para o decaimento exponencial é:
onde:
-
é a quantidade restante após tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a constante de decaimento, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
No problema, a taxa de decaimento é de 2,5% ao ano. Isso significa que a cada ano, 2,5% do estrôncio-90 restante decai. Esse percentual nos ajuda a determinar a constante de decaimento
.
Passo 4
Para encontrar
, podemos usar a relação entre a taxa de decaimento percentual e a constante. A taxa de decaimento
é de 2,5%, ou seja,
ao ano. A constante
é igual a
, então:
Passo 5
Agora, substituímos o valor de
na fórmula do decaimento exponencial:
Passo 6
Como queremos a porcentagem de estrôncio-90 restante, podemos considerar que a quantidade inicial
é 100%. Assim, a fórmula fica:
Resposta
A porcentagem de estrôncio-90 restante após
anos é dada por:
Exercícios relacionados
Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
(Uma editora estima que o custo para imprimir 1.000 a 10.000 exemplares de certo livro didático é R
por exemplar; para imprimir 10.001 a 20.000 exemplares, o custo é R
por exemplar; para imprimir 20.001 a 50.000 exemplares, o custo é
por exemplar.)
(a) Determine uma função que expresse o custo de impressão de
exemplares do livro para
.
(a) Determine uma função