(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente ao ano.)
Escreva a porcentagem de estrôncio-90 restante, , em função dos anos t, desde o acidente nuclear.

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Queremos descobrir qual a porcentagem de estrôncio-90 permanece após t anos desde um acidente nuclear, sabendo que ele decai de forma exponencial a uma taxa de 2,5% ao ano. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é decaimento exponencial. Esse tipo de decaimento ocorre quando a quantidade de uma substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade que ainda resta. A fórmula geral para o decaimento exponencial é:
onde:
  • é a quantidade restante após tempo ,
  • é a quantidade inicial,
  • é a constante de decaimento,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

No problema, a taxa de decaimento é de 2,5% ao ano. Isso significa que a cada ano, 2,5% do estrôncio-90 restante decai. Esse percentual nos ajuda a determinar a constante de decaimento .

Passo 4

Para encontrar , podemos usar a relação entre a taxa de decaimento percentual e a constante. A taxa de decaimento é de 2,5%, ou seja, ao ano. A constante é igual a , então:

Passo 5

Agora, substituímos o valor de na fórmula do decaimento exponencial:

Passo 6

Como queremos a porcentagem de estrôncio-90 restante, podemos considerar que a quantidade inicial é 100%. Assim, a fórmula fica:

Resposta

A porcentagem de estrôncio-90 restante após anos é dada por:

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Dê as soluções das equações diferenciais de ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Encontre a área (método dos retângulos - Soma de Riemann) da função ao longo do intervalo , obtida dividindo-se o intervalo em subintervalos iguais ( 5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
(Uma editora estima que o custo para imprimir 1.000 a 10.000 exemplares de certo livro didático é R por exemplar; para imprimir 10.001 a 20.000 exemplares, o custo é R por exemplar; para imprimir 20.001 a 50.000 exemplares, o custo é por exemplar.)
(a) Determine uma função que expresse o custo de impressão de exemplares do livro para .