Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de cálculo para encontrar duas soluções que satisfaçam essa equação com a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, como muda quando muda. A equação nos diz que essa taxa de mudança é igual a vezes elevado a .

Passo 3

Vamos começar procurando a solução trivial, que é aquela onde a função não muda. Se para todo , então:
E substituindo na equação original:
Isso satisfaz a equação, então é uma solução válida que também atende à condição inicial .

Passo 4

Agora, vamos encontrar outra solução. Para isso, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar e para lados diferentes da equação. Vamos reorganizar:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração nos ajuda a encontrar a função :
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Igualando as integrais:

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Para simplificar, podemos absorver as constantes:
Onde é uma constante. Agora, elevamos ambos os lados ao poder de para resolver para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Para que isso seja verdadeiro, deve ser infinito, o que não é possível. Isso sugere que precisamos considerar uma solução onde a função permanece até um certo ponto e depois segue uma nova expressão.
Vamos considerar que para e, para , a função segue a expressão derivada. Porém, como a condição inicial é em , podemos escolher , então uma das soluções é para todo .

Passo 8

Outra maneira de olhar isso é perceber que, além da solução trivial , podemos ter soluções que “se ligam” à solução trivial em algum ponto. Porém, devido à condição inicial , a única outra solução contínua que satisfaz a equação é a trivial .
Por isso, na prática, a única solução contínua que atende a todas as condições é .

Resposta

As duas soluções que satisfazem a equação com a condição inicial são:
  1. Solução Trivial: para todo .
  2. Solução Constante: Também para todo .
Apesar de parecerem iguais, em contextos mais avançados, poderíamos considerar soluções que se comportam de maneira diferente em diferentes intervalos de , mas para este caso específico com a condição dada, é a única solução contínua que atende a todas as condições.

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(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente ao ano.)
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(Uma editora estima que o custo para imprimir 1.000 a 10.000 exemplares de certo livro didático é R por exemplar; para imprimir 10.001 a 20.000 exemplares, o custo é R por exemplar; para imprimir 20.001 a 50.000 exemplares, o custo é por exemplar.)
(a) Determine uma função que expresse o custo de impressão de exemplares do livro para .
Resolva as equaçōes: