Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de cálculo para encontrar duas soluções que satisfaçam essa equação com a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, como
muda quando
muda. A equação nos diz que essa taxa de mudança é igual a
vezes
elevado a
.
Passo 3
Vamos começar procurando a solução trivial, que é aquela onde a função
não muda. Se
para todo
, então:
E substituindo na equação original:
Isso satisfaz a equação, então
é uma solução válida que também atende à condição inicial
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar outra solução. Para isso, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar
e
para lados diferentes da equação. Vamos reorganizar:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração nos ajuda a encontrar a função
:
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Igualando as integrais:
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Para simplificar, podemos absorver as constantes:
Onde
é uma constante. Agora, elevamos ambos os lados ao poder de
para resolver para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Para que isso seja verdadeiro,
deve ser infinito, o que não é possível. Isso sugere que precisamos considerar uma solução onde a função
permanece
até um certo ponto e depois segue uma nova expressão.
Vamos considerar que
para
e, para
, a função segue a expressão derivada. Porém, como a condição inicial é em
, podemos escolher
, então uma das soluções é
para todo
.
Passo 8
Outra maneira de olhar isso é perceber que, além da solução trivial
, podemos ter soluções que “se ligam” à solução trivial em algum ponto. Porém, devido à condição inicial
, a única outra solução contínua que satisfaz a equação é a trivial
.
Por isso, na prática, a única solução contínua que atende a todas as condições é
.
Resposta
As duas soluções que satisfazem a equação
com a condição inicial
são:
- Solução Trivial:
para todo . - Solução Constante: Também
para todo .
Apesar de parecerem iguais, em contextos mais avançados, poderíamos considerar soluções que se comportam de maneira diferente em diferentes intervalos de
, mas para este caso específico com a condição dada,
é a única solução contínua que atende a todas as condições.
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(Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente
ao ano.)
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(Uma editora estima que o custo para imprimir 1.000 a 10.000 exemplares de certo livro didático é R
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por exemplar; para imprimir 20.001 a 50.000 exemplares, o custo é
por exemplar.)
(a) Determine uma função que expresse o custo de impressão de
exemplares do livro para
.
(a) Determine uma função
Resolva as equaçōes: