Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a e o outro para o oeste a . A que taxa está crescendo a distância entre os dois carros duas horas depois?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos dois carrões que saem do mesmo ponto. Um vai pro sul a 60 km/h e o outro pro oeste a 25 km/h. A pergunta é: a que velocidade tá aumentando a distância entre eles depois de duas horas? Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de taxas relacionadas, e também o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como cada carro se move com o tempo. Vamos chamar o tempo de horas.
  • Carro que vai para o sul: Como ele vai a 60 km/h, a distância que ele percorre depois de horas é km.
  • Carro que vai para o oeste: Vai a 25 km/h, então a distância dele depois de horas é km.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distância entre os dois carros, que vamos chamar de . Como eles estão se movendo em direções perpendiculares (sul e oeste), podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias:
Substituindo e pelas expressões que encontramos:
Então, a distância entre os carros é km.

Passo 4

Queremos saber a taxa de variação da distância em relação ao tempo , ou seja, . Para isso, vamos derivar em relação a :
Isso significa que a distância entre os dois carros está aumentando a uma taxa constante de 65 km/h, independentemente do tempo.

Resposta

A distância entre os dois carros está aumentando a uma taxa de duas horas depois.

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