Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
e o outro para o oeste a
. A que taxa está crescendo a distância entre os dois carros duas horas depois?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos dois carrões que saem do mesmo ponto. Um vai pro sul a 60 km/h e o outro pro oeste a 25 km/h. A pergunta é: a que velocidade tá aumentando a distância entre eles depois de duas horas? Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de taxas relacionadas, e também o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como cada carro se move com o tempo. Vamos chamar o tempo de
horas.
- Carro que vai para o sul: Como ele vai a 60 km/h, a distância que ele percorre depois de
horas é km. - Carro que vai para o oeste: Vai a 25 km/h, então a distância dele depois de
horas é km.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distância entre os dois carros, que vamos chamar de
. Como eles estão se movendo em direções perpendiculares (sul e oeste), podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias:
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Então, a distância entre os carros é
km.
Passo 4
Queremos saber a taxa de variação da distância
em relação ao tempo
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Isso significa que a distância entre os dois carros está aumentando a uma taxa constante de 65 km/h, independentemente do tempo.
Resposta
A distância entre os dois carros está aumentando a uma taxa de
duas horas depois.
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.
Encontre a linearização
de
em a para
.
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