Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
(a) y' - 3y = e^(3t), y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e utilizar propriedades básicas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de é , onde é a transformada de .

Passo 3

Substituindo as transformadas conhecidas:
Sabemos que , então .

Passo 4

Substituímos o valor da condição inicial :

Passo 5

Fatoramos na equação:

Passo 6

Isolamos :

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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