(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis
y' = (x^2 + 3y^2) / (2xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é redutível a variáveis separáveis. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre variáveis separáveis, que é uma técnica usada para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis:
Agora, vamos rearranjar os termos para isolar de um lado e do outro:
Nosso objetivo é separar as variáveis e . Para isso, vamos tentar encontrar uma substituição que simplifique a equação. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo na equação original:
Agora, isolamos :
Agora, separamos as variáveis e :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Agora, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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