(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis
Redutível à variáveis separáveis
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é redutível a variáveis separáveis. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre variáveis separáveis, que é uma técnica usada para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis:
Agora, vamos rearranjar os termos para isolar
de um lado e
do outro:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos tentar encontrar uma substituição que simplifique a equação. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
na equação original:
Agora, isolamos
:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Agora, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.